Lời giải:
$2^x+1=y^3$
$\Leftrightarrow 2^x=y^3-1=(y-1)(y^2+y+1)$
Do $x,y$ là các số tự nhiên nên $y^2+y+1, y-1$ cũng là các số tự nhiên. Tích của chúng là một lũy thừa cơ số 2 nên tồn tại $m,n\in\mathbb{N}(m< n)$ thỏa mãn:
\(\left\{\begin{matrix}
y-1=2^m(1)\\
y^2+y+1=2^n\end{matrix}\right.(m+n=x)\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y^2-2y+1=2^{2m}\\ y^2+y+1=2^n\end{matrix}\right.\Rightarrow 3y=2^n-2^{2m}\). Từ $(1)$ cũng có $y=2^m+1$ nên:
$3(2^m+1)=2^n-2^{2m}$
$\Rightarrow 3=2^n-2^{2m}-3.2^m$
Dễ thấy nếu $m,n\geq 1$ thì vế phải chia hết cho $2$, trong khi vế trái bằng $3$ không chia hết cho $2$ (vô lý). Do đó trong 2 số $m,n$ tồn tại 1 số bằng $0$
Vì $m< n$ nên $m=0$. Khi đó: $3=2^n-4\Rightarrow 7=2^n$ (vô lý)
Vậy không tồn tại $m,n$,kéo theo không tồn tại $x,y$ thỏa mãn.
