Question

tìm các số dương x,y,z là các số thực khác 0 thỏa mãn x+y+z=0.tính giá trị của P=\(\frac{x^2}{x^2-y^2-z^2}+\frac{y^2}{y^2-z^2-x^2}+\frac{z^2}{z^2-x^2-y^2}\)

Answer 1

\(\frac{x^2}{x^2-y^2-z^2}=\frac{x^2}{\left(x+y\right)\left(x-y\right)-z^2}=\frac{x^2}{-z\left(x-y\right)-z^2}=\frac{x^2}{-z\left(x-y+z\right)}=\frac{x^2}{-z\left(-2y\right)}=\frac{x^2}{2yz}\)

Tương tự ta được:

\(P=-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}\right)=-\frac{1}{2}\left(\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}\right)\)

Mà \(x^3+y^3+z^3=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+z^3-3xy\left(x+y\right)\)

\(=\left(x+y\right)^3+z^3+3xyz\)

\(=\left(-z\right)^3+z^3+3xyz=3xyz\)

\(\Rightarrow P=-\frac{1}{2}.\frac{3xyz}{xyz}=-\frac{3}{2}\)