Gọi số cần tìm là \(\overline{abc}\) với \(a,b,c\in N\)
Nếu một bộ \(\left(a,b,c\right)\) thỏa mãn điều kiện thì các hoán vị của chúng cũng thỏa mãn
Do đó số cần tìm là lớn nhất khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=a.b.c\\a\ge b\ge c\end{matrix}\right.\) và \(a\ne0\)
Nếu \(\left[{}\begin{matrix}b=0\\c=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b+c=abc=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\a+c=0\end{matrix}\right.\) (vô lý vì \(a>0\))
\(\Rightarrow a,b,c\ne0\)
Do \(a\ge b\ge c\Rightarrow a+b+c\le3a\)
\(\Rightarrow abc\le3a\Rightarrow bc\le3\)
Mà \(c\le b\Rightarrow c^2\le bc\le3\Rightarrow c^2=1\) (vì chỉ có 1 là số chính phương \(\le3\))
\(\Rightarrow c=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=1\\b=2\\b=3\end{matrix}\right.\)
- Với \(b=1\Rightarrow a+1+1=a.1.1\Rightarrow2=0\) (vô lý)
- Với \(b=2\Rightarrow a+2+1=a.2.1\Rightarrow a+3=2a\Rightarrow a=3\)
- Với \(b=3\Rightarrow a+3+1=a.3.1\Rightarrow a+4=3a\Rightarrow a=2< b=3\) (loại)
Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=2\\c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) số cần tìm là \(321\)
