Question

Tìm a \(\in\) N để phương trình x²-a²x+a+1=0 có nghiệm nguyên.

Answer 1

Lời giải:

Để PT \(x^2-a^2x+a+1=0\) có nghiệm nguyên thì :

\(\Delta=a^4-4(a+1)\) phải là số chính phương.

Đặt \(a^4-4(a+1)=t^2\)

Xét \(a=0,1,2\) thấy \(a=2\) thỏa mãn.

Xét \(a\geq 3\)

Dễ thấy \(t^2=a^4-4(a+1)< (a^2)^2\)

Xét \([a^4-4(a+1)]-(a^2-1)^2=2a^2-4a-5=2(a-1)^2-7\)

Với \(a\geq 3\Rightarrow 2(a-1)^2-7\geq 8-7>0\)

\(\Leftrightarrow t^2>(a^2-1)^2\)

Như vậy \((a^2-1)^2< t^2< (a^2)^2\) (vô lý)

Vậy \(a=2\)