Question

Bài 1: có bao nhiêu giá trị m nguyên để phương trình \(\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x}+2\sqrt{-x^2+4}+2m+3=0\)có nghiệm

Answer 1

\(-2\le x\le2\)

Đặt \(\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x}=a\Rightarrow a^2-4=\sqrt{-x^2+4}\)

Áp dụng BĐT \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\Rightarrow\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x}\ge2\Rightarrow a\ge2\)

Áp dụng BĐT Bunhia:

\(\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x}\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(x+2+2-x\right)}=2\sqrt{2}\Rightarrow a\le2\sqrt{2}\)

Vậy \(2\le a\le2\sqrt{2}\)

Phương trình đã cho trở thành:

\(a^2+a+2m-1=0\Leftrightarrow m=f\left(a\right)=-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}\)

Trên đoạn \(\left[2;2\sqrt{2}\right]\) hàm \(f\left(a\right)\) nghịch biến

\(\Rightarrow f\left(2\sqrt{2}\right)\le f\left(a\right)=m\le f\left(2\right)\)

\(\Rightarrow\frac{-7-2\sqrt{2}}{2}\le m\le-\frac{5}{2}\)

Answer 2

3