Tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của \(\widehat{B}\) cắt cạnh AC tại D. Lấy điểm E trên cạnh BC sao cho BA=BE. Chứng minh:
a) Tam giác BAD = Tam giác BED và DE\(\perp\)BC
b) BD là đường trung trực của AE
c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm K sao cho AK=EC. Chứng minh 3 điểm K,D,E thẳng hàng
d) Chứng minh AE song song với KC
a) Xét ΔBDA và ΔBDE ta có:
AB = BE (GT)
\(\widehat{ABD}=\widehat{DBE}\) (GT)
BD: cạnh chung
=> ΔBDA = ΔBDE (c - g - c)
=> \(\widehat{BAD}=\widehat{DEB}\) (2 góc tương ứng)
=> DE⊥BE (1)
Hay DE⊥BC (đpcm)
b/ Có ΔBDA = ΔBDE (câu a)
=> \(\widehat{ADB}=\widehat{BDE}\) (2 góc tương ứng)
Và AD = DE (2 cạnh tương ứng)
Gọi giao điểm của AE và BD là I
Xét ΔADI và ΔEDI ta có:
AD = DE (cmt)
\(\widehat{ADB}=\widehat{BDE}\) (cmt)
DI: cạnh chung
=> ΔADI = ΔEDI (c - g - c)
=> AI = IE (2 cạnh tương ứng)
=> I là trung điểm của AE
=> BI là đường trung trực của AE
c/
Ta có: BC = BE + EC
BK = AB + AK
Mà BE = AB (GT)
EC = AK (GT)
=> BC = BK
Xét ΔABC và ΔEBK ta có:
AB = EB (GT)
\(\widehat{ABC}\): góc chung
BC = BK (cmt)
=> ΔABC = ΔEBK (c - g - c)
=> \(\widehat{BEK}=\widehat{BAC}\) (2 góc tương ứng)
Mà \(\widehat{BAC}=90^0\) nên \(\widehat{BEK}=90^0\)
=> EK ⊥BE (2)
Từ (1) và (2)
=> EK trùng với DE
=> E, K, D thẳng hàng
P/S: Làm đến chừng ngày thôi hết sức rồi!
