Violympic toán 9
Các câu hỏi tương tự
Tam giác ABC có G là trọng tâm . M là điểm bất kì trong tam giác . GM cắt AB, AC ,BC tại C' , B' , A' . Chung minh
\(\dfrac{MA'}{GA'}\)+\(\dfrac{MB'}{GB'}\)+\(\dfrac{MC'}{GC'}\)=3
ôCh tam giác ABC với tâm O. Gọi M là điểm bất kì bên trong tam giác ABC. Kẻ MHperpBC, MKperpAC, MIperpAB.
1. Chứng minh rằng: MH+MK+MIh (h là chiều cao của tam giác ABC).
2. Đường thẳng MO lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại A, B, C.
Chứng minh rằng: dfrac{MA}{OA}+dfrac{MB}{OB}+dfrac{MC}{OC}3
Đọc tiếp
ôCh tam giác ABC với tâm O. Gọi M là điểm bất kì bên trong tam giác ABC. Kẻ MH\(\perp\)BC, MK\(\perp\)AC, MI\(\perp\)AB.
1. Chứng minh rằng: MH+MK+MI=h (h là chiều cao của tam giác ABC).
2. Đường thẳng MO lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại A', B', C'.
Chứng minh rằng: \(\dfrac{MA'}{OA'}+\dfrac{MB'}{OB'}+\dfrac{MC'}{OC'}=3\)
Cho tam giác ABC đều, có AH là đường cao và M là điểm bất kì thuộc đoạn BC. Kẻ MP và MQ lần lượt vuông góc với AB và AC. Gọi O là trung điểm của AM. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, I là giao điểm của PQ và OH. Chứng minh rằng: 3 điểm M, I, G thẳng hàng
đường tròn tâm (I) nội tiếp tam giác ABC , (I) cắt AB tại F cắt Bc tại D và cắt AC tại E . Ad cắt (I) tại M . AI cắt EF tại K . chứng minh \(\dfrac{IA^2}{AB\cdot AC}+\dfrac{IB^2}{BC\cdot BA}+\dfrac{IC^2}{CA\cdot CB}=1\)
Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là tia phân giác của góc B ( D thuộc AC).Chứng minh rằng :\(\dfrac{B}{2}\) =\(\dfrac{AC}{BC+AB}\)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ABAC, nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M. Kẻ đường cao BF của tam giác ABC(F thuộc AC). Từ F kẻ đường thẳng song song với MA cắt AB tại E. Gọi H là giao điểm của CE và BF; D là giao điểm của AH và BC.
a) Cmr MA^2MB.MC và dfrac{MC}{MB}dfrac{AC^2}{AB^2}
b) Cmr AH vuông góc với BC tại D
c) Gọi I là trung điểm BC. Cmr 4 điểm E,F,D,I cùng nằm trên 1 đường tròn
d) Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với HI cắt AB, AC l...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB<AC, nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M. Kẻ đường cao BF của tam giác ABC(F thuộc AC). Từ F kẻ đường thẳng song song với MA cắt AB tại E. Gọi H là giao điểm của CE và BF; D là giao điểm của AH và BC.
a) Cmr \(MA^2=MB.MC\) và \(\dfrac{MC}{MB}=\dfrac{AC^2}{AB^2}\)
b) Cmr AH vuông góc với BC tại D
c) Gọi I là trung điểm BC. Cmr 4 điểm E,F,D,I cùng nằm trên 1 đường tròn
d) Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với HI cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Cmr H là trung điểm của PQ
1, Cho left(O;dfrac{AB}{2}right), C là một điểm nằm trên nửa đường tròn. Qua D trên đoạn thẳng OA kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt BC tại F. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C cắt DF tại I. Gọi E là là giao điểm của AC và DF.
a. So sánh widehat{IEC} với widehat{ICE} và widehat{ABC}
b. Chứng minh Delta EIC là tam giác cân
c. Chứng minh IEICtext{IF}IEICtext{IF}
2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến tại A cắt BC tại I.
a. dfrac{IB}{IC}dfrac{AB^2}{AC^2}
b. Tính IA và I...
Đọc tiếp
1, Cho \(\left(O;\dfrac{AB}{2}\right)\), C là một điểm nằm trên nửa đường tròn. Qua D trên đoạn thẳng OA kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt BC tại F. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C cắt DF tại I. Gọi E là là giao điểm của AC và DF.
a. So sánh \(\widehat{IEC}\) với \(\widehat{ICE}\) và \(\widehat{ABC}\)
b. Chứng minh \(\Delta EIC\) là tam giác cân
c. Chứng minh \(IE=IC=\text{IF}\)\(IE=IC=\text{IF}\)
2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến tại A cắt BC tại I.
a. \(\dfrac{IB}{IC}=\dfrac{AB^2}{AC^2}\)
b. Tính IA và IC biết AB=20cm ; AC=28cm ; BC=24cm.
3.Cho đường tròn tâm O, dây cung MN, tiếp tuyến Mx. Trên tia Mx lấy điểm T sao cho MT=MN. Đường thẳng TN cắt đường tròn tại S. Chứng minh:
a. \(\Delta SMT\) cân
b. \(TM^2=TF\cdot TN\)
4. Cho tam giác SBC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn theo thứ tự tại M,N,K. Kẻ đường kính AI. Chứng minh:
a. C là điểm chính giữa của \(\widehat{MCN}\)
b. N đối xứng với H qua AC ; M đối xứng với H qua BC ; K đối xứng với H qua AB.
c. Chứng minh: tứ giác BCIM là hình thang cân
d. Gọi G là trung điểm của BC. Chứng minh: \(AH=2OG\)
e. Chứng minh: \(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CK}{CF}=4\)
5. Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O;R). Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC. Lấy điểm I trên dây AM sao cho MI=MB.
a. Chứng minh tam giác MBI là tam giác đều.
b. Chứng minh MA=MB+MC.
c. Gọi D là giao điểm của MA và BC. Chứng minh: \(\dfrac{1}{MD}=\dfrac{1}{MB}+\dfrac{1}{MC}\)
d. Tính tổng \(MA^2+MB^2+MC^2\) theo R
6. Trong tuần đầu, 2 tổ sản xuất được 1500 bộ quần áo. Sang tuần thứ 2, tổ A vượt mức 25 %, tổ B giảm mức 18 % nên trong tuần này cả 2 tổ sản xuất được 1617 bộ. Hỏi trong tuần đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu bộ quần áo?
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Đường tròn tâm (I) đường kính HB cắt AB ở D, đường tròn tâm (J) đường HC cắt AC ở Ea) CM AD.AB=AE.ACb)CM DE là tiếp tuyến chung của (I) và (J)c)Chứng tỏ \(S_{ADE}\le\dfrac{1}{4}S_{ABC}\)
Xem chi tiết
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy M bất kì thuộc tia đối CB(M khác C). Đường thẳng d đi qua m cắt AB, AC tại N, P. Chứng minh: \(\dfrac{BM}{BP}-\dfrac{CM}{CN}=\dfrac{BC}{AB}\)