Tam giác ABC có AB=AC. Trên tia đối của các tia BA và CA lấy 2 điểm D và E sao cho BD= CE
a)CMR: DE//BC
b) từ D kẻ DM vuông góc với BC. Từ E kẻ EN vuông góc với BC. CMR : DM= EN
c) CMR: Tam giác AMN cân
d) từ B và C kẻ các đường vuông góc với AM và AN . chunhs cắt nhau tại I . CMR: AI là tia phân giác chung của 2 góc BAC và MAV
Tự vẽ hình.
a) Vì AB = AC nên \(\Delta\)ABC cân tại A
=> \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\)
Áp dụng tc tổng 3 góc trong 1 tg ta có:
\(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{ACB}\) + \(\widehat{DAE}\) = 180o
=> 2\(\widehat{ABC}\) = 180o - \(\widehat{DAE}\)
=> \(\widehat{ABC}\) = \(\frac{180^o-\widehat{DAE}}{2}\) (1)
Do BD = CE nên \(\Delta\)ADE cân tại A
=> \(\widehat{ADE}\) = \(\widehat{AED}\)
Áp dụng tc tổng 3 góc trong 1 tg ta có:
\(\widehat{ADE}\) + \(\widehat{AED}\) + \(\widehat{DAE}\) = 180o
=> 2\(\widehat{ADE}\) = 180o - \(\widehat{DAE}\)
=> \(\widehat{ADE}\) = \(\frac{180^o-\widehat{DAE}}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ADE}\)
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên DE // BC
b) Ta có: AB + BD = AD
AC + CE = AE
mà AB = AC; AD = AE => BD = CE
Lại có: \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{DBM}\) (đối đỉnh)
\(\widehat{ACB}\) = \(\widehat{ECN}\) (đối đỉnh)
mà \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\) => \(\widehat{DBM}\) = \(\widehat{ECN}\)
Xét \(\Delta\)DMB vuông tại M và \(\Delta\)ENC vuông tại E có:
BD = CE (c/m trên)
\(\widehat{DBM}\) = \(\widehat{ECN}\) (c/m trên)
=> \(\Delta\)DMB = \(\Delta\)ENC (ch - gn)
c) Do \(\Delta\)DMB = \(\Delta\)ENC (câu b)
=> MB = NC (2 cạnh t/ư)
Lại có: \(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{ABM}\) = 180o (kề bù)
\(\widehat{ACB}\) + \(\widehat{ACN}\) = 180o (kề bù)
mà \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\) => \(\widehat{ABM}\) = \(\widehat{ACN}\)
Xét \(\Delta\)AMB và \(\Delta\)ANC có:
AB = AC (gt)
\(\widehat{ABM}\) = \(\widehat{ACN}\) (c/ trên)
MB = NC (c/m trên)
=> \(\Delta\)AMB = \(\Delta\)ANC (c.g.c)
=> AM = AN (2 cạn t/ư)
Do đó \(\Delta\)AMN cân tại A.
d) ............
