Question

số giá trị nguyên của m để phương trình \(sinx.cosx-m.cos^2x=cos2x\) có nghiệm trên \(\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]\)

Answer 1

\(sinx.cosx-mcos^2x=cos^2x-sin^2x\)

\(cosx=0\) không phải nghiệm, chia cả 2 vế cho \(cos^2x\):

\(tanx-m=1-tan^2x\)

\(\Leftrightarrow tan^2x+tanx-m-1=0\)

Đặt \(tanx=t\Rightarrow t^2+t-1=m\) (1)

để pt có nghiệm trên đoạn đã cho thì (1) có nghiệm trên \(\left[-1;1\right]\)

Xét \(f\left(t\right)=t^2+t-1\) có \(-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}\) ;

\(f\left(-1\right)=-1\) ; \(f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{5}{4}\) ; \(f\left(1\right)=1\)

\(\Rightarrow-\frac{5}{4}\le f\left(t\right)\le1\Rightarrow-\frac{5}{4}\le m\le1\)