Đặt 2 cạnh góc vuông lần lượt là \(x_1\) và \(x_2\) .
Vì \(x_1;x_2\) là nghiệm của \(\left(m-1\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m=0\) .
Theo hệ thức vi - et ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=\dfrac{m}{m-1}\end{matrix}\right.\)
Theo hệ thức lượng cho tam giác vuông ta lại có :
\(\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2x_2^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{\left(x_1x_2\right)^2}=\dfrac{5}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4-\dfrac{2m}{m-1}}{\dfrac{4m^2}{m^2-2m+1}}=\dfrac{5}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(2m-4\right)\left(m-1\right)}{4m^2}=\dfrac{5}{4}\)
\(\Leftrightarrow8m^2-24m+16=20m^2\)
\(\Leftrightarrow12m^2+24m-16=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{-3+\sqrt{21}}{3}\\m=\dfrac{-3-\sqrt{21}}{3}\end{matrix}\right.\)
