Gọi số thứ nhất, số thứ hai và số thứ ba lần lượt là \(a,b,c\)
Theo đề bài, ta có: \(a^3+b^3+c^3=-1009\)
và \(\frac{a}{b}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{a}{2}=\frac{b}{3}\Rightarrow\frac{a}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{b}{3}\times\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{a}{4}=\frac{b}{6}\) (1)
\(\frac{a}{c}=\frac{4}{9}\Rightarrow\frac{a}{4}=\frac{c}{9}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a}{4}=\frac{b}{6}=\frac{c}{9}\Rightarrow\left(\frac{a}{4}\right)^3=\left(\frac{b}{6}\right)^3=\left(\frac{c}{9}\right)^3\Rightarrow\frac{a^3}{4^3}=\frac{b^3}{6^3}=\frac{c^3}{9^3}\Rightarrow\frac{a^3}{64}=\frac{b^3}{216}=\frac{c^3}{729}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a^3}{64}=\frac{b^3}{216}=\frac{c^3}{729}=\frac{a^3+b^3+c^3}{64+216+729}=\frac{-1009}{1009}=-1\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{a^3}{64}=-1\\\frac{b^3}{216}=-1\\\frac{c^3}{729}=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a^3=\left(-1\right)\times64\\b^3=\left(-1\right)\times216\\c^3=\left(-1\right)\times729\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a^3=-64\\b^3=-216\\c^3=-729\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a^3=\left(-4\right)^3\\b^3=\left(-6\right)^3\\c^3=\left(-9\right)^3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a=-4\\b=-6\\c=-9\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a+b+c=\left(-4\right)+\left(-6\right)+\left(-9\right)=-19\)
Vậy tổng của 3 số là \(-19\).
