Phương trình nghiệm nguyên:
Vì 105 là số lẻ nên 2x + 5y + 1 và \(2^{\left|x\right|}+x^2+x+y\) phải là các số lẻ
Từ \(2x+5y+1\) là số lẻ mà \(2x+1\) là số lẻ nên 5y là số chẵn => y là số chẵn
\(2^{\left|x\right|}+x^2+x+y\) là số lẻ mà \(x^2+x=x\left(x+1\right)\) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên là số chẵn , y cũng là số chẵn nên \(2^{\left|x\right|}\) là số lẻ . Điều này chỉ xảy ra khi x = 0
Thay x = 0 vào phương trình đã cho , ta được :
\(\left(5y+1\right)\left(y+1\right)=105\)
\(\Leftrightarrow5y^2+6y-104=0\)
\(\Leftrightarrow5y^2-20y+26y-104=0\)
\(\Leftrightarrow5y\left(y-4\right)+26\left(y-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(5y+26\right)\left(y-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{-26}{\overline{5}}\left(L\right)\\y=4\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy phương trình có nghiệm nguyên ( x ; y ) = ( 0;4 )
