Question

Nửa khoảng \([a;b)\) là tập hợp tất cả giá trị cuẩ m để hệ bất phương trình \(-1\le\frac{x^2+5x+m}{2x^2-3x+2}< 7\) nghiệm đúng với tất cả giá trị x.

Tìm a và b

Answer 1

Dễ dàng chứng minh \(2x^2-3x+2>0\) \(\forall x\)

\(-1\le\frac{x^2+5x+m}{2x^2-3x+2}\Leftrightarrow x^2+5x+m\ge-2x^2+3x-2\)

\(\Leftrightarrow3x^2+2x+m+2\ge0\)

Để BPT nghiệm đúng với mọi x \(\Leftrightarrow\Delta'=1-3\left(m+2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow m\ge-\frac{5}{3}\)

\(\frac{x^2+5x+m}{2x^2-3x+2}< 7\Leftrightarrow x^2+5x+m< 14x^2-21x+14\)

\(\Leftrightarrow13x^2-26x-m+14>0\)

Để BPT đúng với mọi x \(\Leftrightarrow\Delta'=169-13\left(-m+14\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow m< 1\)

Vậy \(-\frac{5}{3}\le m< 1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\frac{5}{3}\\b=1\end{matrix}\right.\)