Dễ thấy x=0 không là nghiệm của phương trình.
Xét x khác 0, chia cả 2 vế của phương trình cho \(x^2\ne0\) ta có:
\(x^2+\text{ax}+b+\dfrac{a}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0\)
<=> \(\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+a\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+b=0\)
<=>\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2+a\left(a+\dfrac{1}{x}\right)+b=0\)(*)
Đặt \(y=x+\dfrac{1}{x}\)
Ta có: \(y^2-4=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-4=x^2+2.x.\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}-4.x.\dfrac{1}{x}\)
=\(x^2-2.x.\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2\ge0\) với mọi x khác 0
=>\(y^2\ge4\)
=>\(\left|y\right|\ge2\)
(*) trở thành: y2-2+ay+b=0
<=>\(2-y^2=ay+b\)
=>\(\left|2-y^2\right|=\left|ay+b\right|\)(1)
Ta có: \(0\le\left(a-by\right)^2\) (với mọi \(a\ne0\) , b, \(\left|y\right|\ge2\))
<=>\(0\le a^2-2aby+b^2y^2\)
<=>\(a^2y^2+2aby+b^2\le a^2y^2+a^2+b^2y^2+b^2\)
<=>\(\left(ay+b\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(y^2+1\right)\)
<=>\(\left|ay+b\right|\le\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{y^2+1}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\left|2-y^2\right|\le\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{y^2+1}\)
<=>\(\left(2-y^2\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(y^2+1\right)\)
<=>\(\left(a^2+b^2\right)^2\ge\dfrac{\left(2-y^2\right)^2}{y^2+1}\)(3) (vì y2+1>0 với mọi \(\left|y\right|\ge2\))
Vì \(y^2\ge4\)
=> \(y^2-\dfrac{12}{5}\ge4-\dfrac{12}{5}=\dfrac{8}{5}\) > 0
=> \(\left(y^2-\dfrac{12}{5}\right)^2\ge\left(\dfrac{8}{5}\right)^2\)
<=>\(y^4-\dfrac{24}{5}y^2+\dfrac{144}{25}\ge\dfrac{64}{25}\)
<=>\(y^4-\dfrac{24}{5}y^2+\dfrac{16}{5}\ge0\)
<=>\(5y^4-24y^2+16\ge0\)
<=>\(20-20y^2+5y^4\ge4y^2+4\)
<=>\(5\left(4-4y^2+y^4\right)\ge4\left(y^2+1\right)\)
<=>\(5\left(2-y^2\right)^2\ge4\left(y^2+1\right)\)
<=>\(\dfrac{\left(2-y^2\right)^2}{y^2+1}\ge\dfrac{4}{5}\) (4) (vì y2+1>0 với mọi \(\left|y\right|\ge2\))
Từ (3) và (4)=> \(a^2+b^2\ge\dfrac{4}{5}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của a2+b2 là \(\dfrac{4}{5}\) khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left|y\right|=2\\a=by\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}y=2\\y=-2\end{matrix}\right.\\a=by\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}y=2\\a=2b\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=-2\\a=-2b\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=1\\a=-\dfrac{4}{5}\\b=\dfrac{-2}{5}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\a=\dfrac{4}{5}\\b=\dfrac{-2}{5}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)(I)
Vì a > 0 nên trường hợp thứ nhất loại.
Do đó:\(\left(I\right)\)<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\a=\dfrac{4}{5}\\b=\dfrac{-2}{5}\end{matrix}\right.\)
Khi đó giá trị của a cần tìm là \(\dfrac{4}{5}.\)
Ở phần chứng minh \(\left|ay+b\right|\le\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{y^2+1}\) trong lời giải của tôi các bạn có thể áp dụng bất đẳng thức B.C.S cho nhanh gọn hơn.
