Question

Nếu a,b,c là 3 độ dài ba cạnh của 1 tam giác thì\(\left|\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-\dfrac{a}{c}-\dfrac{c}{b}-\dfrac{b}{a}\right|< 1\)

Answer 1

Lời giải:

Bài toán tương đương với CM:

\(-1<\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\frac{a}{c}-\frac{c}{b}-\frac{b}{a}<1\)

\(\Leftrightarrow 2<\frac{a-c+b}{b}+\frac{b-a+c}{c}+\frac{c-b+a}{a}<4\)

Đặt \((a-c+b,b-a+c,c-b+a)=(x,y,z)\) \(\Rightarrow (a,b,c)=(\frac{x+z}{2},\frac{x+y}{2},\frac{y+z}{2})\)

Hiển nhiên \(x,y,z>0\)

Bài toán đưa về CM: \(1<\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}<2\)

CM vế 1:

\(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\)

CM vế 2: dựa vào vế 1:

\(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}=3-\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{x+z}\right)<3-1=2\)

Vậy ta có đpcm.

Answer 2

\(\left|\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-\dfrac{a}{c}-\dfrac{c}{b}-\dfrac{b}{a}\right|=\left|\dfrac{a-c}{b}+\dfrac{b-a}{c}+\dfrac{c-b}{a}\right|\)

rồi xử tiếp đi :v