Question

Một hình trụ có bán kính đáy bằng a chiều cao OO'=a\(\sqrt{3}\) .Hai điểm A,B lần lượt nằm trên hai đáy (O), (O') sao cho góc giữa OO' và AB bằng 30⁰ .Khoảng cách giữa AB và OO' bằng:

A.\(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\) B.\(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) C. \(\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\) D. \(a\sqrt{3}\)

Answer 1

Lời giải:

Từ $A$ kẻ $AA'$ song song với trục $OO'$ ( $A'$ nằm trên đáy có tâm $O'$)

Khi đó \(AA'=OO'=a\sqrt{3}\) và \(AA'\) vuông góc với hai đáy.

\(AA'\parallel OO'\Rightarrow OO'\parallel (AA'B)\)

\(\Rightarrow d(OO', AB)=d(OO', (AA'B))=d(O', (AA'B))\)

Kẻ \(O'H\perp A'B\)

\(\left\{\begin{matrix} O'H\subset (\text{ đáy})\rightarrow O'H\perp AA'\\ O'H\perp A'B \end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow O'H\perp (AA'B)\)

\(\Rightarrow O'H=d(O', (AA'B))=d(OO', AB)\)

-------------------------------------------

Do \(OO'\parallel AA'\) nên:

\((OO', AB)=30^0\Rightarrow (AA', AB)=30^0\Leftrightarrow \angle BAA'=30^0\)

\(\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3}=\tan BAA'=\frac{BA'}{AA}=\frac{BA'}{a\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow BA'=a\Rightarrow BH=\frac{a}{2}\)

\(O'H=\sqrt{O'B^2-BH^2}=\sqrt{r^2-BH^2}=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)

\(\Leftrightarrow d(AB,OO')=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)

Đáp án B