Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,tâm O, SA=a và vuông góc với đáy. Gọi I, M là trung điểm của SC,AB,khoảng cách từ I đến CM là:

A. \(\dfrac{a\sqrt{30}}{10}\) B. \(\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}\) C. \(\dfrac{a\sqrt{10}}{10}\) D. \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Answer 1

Lời giải:

Kẻ $AT$ vuông góc $MC$ \((T\in MC)\)

\(MC=\sqrt{MB^2+BC^2}=\sqrt{(\frac{a}{2})^2+a^2}=\frac{\sqrt{5}a}{2}\)

Khi đó:

\(\frac{AT}{AM}=\sin \angle AMT=\sin \angle BMC=\frac{BC}{MC}=\frac{a}{\frac{\sqrt{5}a}{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

\(\Leftrightarrow AT=\frac{2\sqrt{5}}{5}.AM=\frac{\sqrt{5}a}{5}\)

Xét tam giác vuông tại $A$ là $SAT$ :

\(ST=\sqrt{SA^2+AT^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{5}}=\frac{\sqrt{30}a}{5}\)

Ta thấy:

\(\left\{\begin{matrix} AT\perp MC\\ SA\perp MC\end{matrix}\right.\Rightarrow ST\perp MC\)

\(\Rightarrow d(S, MC)=ST=\frac{\sqrt{30}a}{5}\)

Vì $I$ là trung điểm của $SC$ nên:

\(d(I,MC)=\frac{1}{2}d(S,MC)=\frac{\sqrt{30}a}{10}\)

Đáp án A.