Một đường thẳng d đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD và cắt BC , BD , DC theo thứ tự ở K , E , G
a) \(Cm:AE^2=EK.EG\)
b) \(\dfrac{1}{AE}=\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{AG}\)
C)CM : Khi đường thẳng d thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK . DG có giá trị không đổi.
GIÚP MK VS NHA
MK ĐG CẦN GẤP _ CẢM ƠN NHIỀU
a) Vì ABCD là hình bình hành
\(\rightarrow\)AB // CD hay AB // DG; AD // BC hay AD // BK.
Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta BEK\) có AD // BK
\(\rightarrow\dfrac{AE}{EK}=\dfrac{DE}{BE}=\dfrac{AD}{BK}\) (hệ quả định lý Talét) (1)
Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta DEG\) có AB // DG
\(\rightarrow\dfrac{EG}{AE}=\dfrac{DE}{BE}=\dfrac{DG}{AB}\) (hệ quả định lý Talét) (2)
Từ (1) và (2) \(\rightarrow\dfrac{AE}{EK}=\dfrac{EG}{AE}\rightarrow AE^2=EK.EG\) (đpcm)
b) Từ (1) \(\rightarrow\dfrac{AE}{AK}=\dfrac{DE}{BD}\) (hệ quả định lý Talét) (3)
Cũng lại có AB // DG
\(\rightarrow\dfrac{AE}{AG}=\dfrac{BE}{BD}\) (hệ quả định lý Talét) (4)
Từ (3) và (4) \(\rightarrow\dfrac{AE}{AK}+\dfrac{AE}{AG}=\dfrac{DE}{BD}+\dfrac{BE}{BD}\)
hay \(AE\left(\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{AG}\right)=\dfrac{BD}{BD}=1\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{AE}=\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{AG}\) (đpcm)
c) Từ (1) và (2) \(\rightarrow\dfrac{AD}{BK}=\dfrac{DG}{AB}\)
hay \(AD.AB=BK.DG\)
Vì hình bình hành ABCD không đổi nên AD, AB không đổi
Suy ra tích AD.AB không đổi
\(\Rightarrow\) Tích BK.DG không đổi khi đường thẳng d thay đổi vị trí khi vẫn đi qua A (đpcm)
\(\rightarrow\dfrac{EG}{AE}=\dfrac{DE}{BE}=\dfrac{DG}{AB}\)
