Question

\(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)=xyz\)

\(\text{CMR: }x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}=\left(x+y+z\right)^{2019}\)

Answer 1

Bổ đề: xyz+(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)

Cm:

VT: xyz+(x+y)(y+z)(z+x)

=xyz+xyz+x²z+x²y+y²x+y²z+z²x+z²y+xyz

=xyz+x²z+x²y+xyz+y²z+y²x+xyz+z²x+z²y

=(x+y+z)(xy+yz+xz)

AD bổ đề và đề bài cho

=> (x+y)(y+z)(z+x)=0

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\x+z=0\\y+z=0\end{matrix}\right.\)

1. x+y=0

ta có x²⁰¹⁹+y²⁰¹⁹=(x+y)(x²⁰¹⁸-x²⁰¹⁷y+...+y²⁰¹⁸)=0

=> x²⁰¹⁹+y²⁰¹⁹+z²⁰¹⁹=z²⁰¹⁹

Có (x+y+z)²⁰¹⁹=z²⁰¹⁹

=> x²⁰¹⁹+y²⁰¹⁹+z²⁰¹⁹= (x+y+z)²⁰¹⁹

Làm tương tự với 2 trường hợp còn lại ta được đpcm