Question

Khá giỏi giải nâng cao : Hai bài OK

Hơi KHó 1) Chứng minh rằng n³ - 61n : hết cho 6 với mọi n thuộc số tự nhiên hay ( N ) và n > 1

Rất KHÓ 2) Chứng minh rằng n ( n + 2 ) ( 25n² - 1 ) : hết cho 24 với mọi n thuộc số tự nhiên hay ( N ) và n > 1

AI học giỏi giải đúng 10000% nhá THANHK YOU

Answer 1

1) Giải

Vì n thuộc N và n > 1

Ta có : n³ - 61n = n³ - n - 60n = ( n³ - n ) - 60n

Ta có : n³ - n = n².n - 1.n = n(n² - 1) = n(n-1)n(n+1)

=> n³ - n = ( n + 1 )n( n - 1 ) : hết cho 6 với mọi n thuộc N và n > 1 thì ( n - 1 )n(n + 1 ) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp

Ta có ; 60n : hết cho 6 với mọi n thuộc N và n > 1

Do đó ( n³ - n ) - 60n : hết cho 6 với mọi n thuộc N và n > 1

Vậy với n thuộc N và n > 1 thì n³ - 61n : hết cho 6

2) Giải

Ta có : n( n + 2 ) ( 25n² - 1 )

=> n( n + 2 ) ( n² + 24n² - 1 )

=> n( n + 2 ) [ ( n² - 1 ) + 24n² ]

=> n( n + 2 ) ( n² - 1 ) + n( n + 2 ) . 24n²

=> ( n -1 )n( n + 1 ) ( n + 2 ) + n( n + 2 ) . 24n² (1)

Ta có : n( n + 2 ) . 24n² : hết cho 24 mọi n

vì n thuộc N , n > 1 nên ( n - 1 )n( n + 1 ) ( n + 2 ) là tích của bốn số tự nhiên liên tiếp

=> ( n - 1 )n( n + 1 ) ( n + 2 ) : hết cho 8 và chi hết cho 3

ta có 8.3 = 24 và U7CLN( 8 ; 3 ) = 1 (2)

Do đó ( n - 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) : hết cho 24 (3)

Từ (1) ; (2) và (3) => n( n + 2 ) ( 25n² - 1 : hết cho 24 với mọi n thuộc N và n > 1

Vậy với mọi n thuộc N và n > 1 thì n ( n + 2 ) ( 25n² - 1 ) : hết cho 24