Chắc đề là thế này: \(Q_{n+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{Q_n}}\)
Từ đây suy ra: \(\frac{1}{Q_{n+1}}=1+\frac{1}{Q_n}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{Q_{n+1}}-\frac{1}{Q_n}=1\)
\(\Rightarrow\frac{Q_n-Q_{n+1}}{Q_n.Q_{n+1}}=1\)
\(\Rightarrow Q_n.Q_{n+1}=Q_n-Q_{n+1}\)
\(Q_1Q_2+Q_2Q_3+...+Q_{2017}Q_{2018}=Q_1-Q_2+Q_2-Q_3+...+Q_{2017}-Q_{2018}\)
\(=Q_1-Q_{2018}=1-Q_{2018}\)
Nếu cần tính 1 cách tuyệt đối chính xác:
Đặt \(\frac{1}{Q_n}=P_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P_1=\frac{1}{Q_1}=1\\P_{n+1}=P_n+1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P_1=1\)
\(P_2=P_1+1\)
\(P_3=P_2+1\)
....
\(P_{2018}=P_{2017}+1\)
Cộng vế với vế ta được:
\(P_1+P_2+...+P_{2018}=P_1+P_2+...+P_{2017}+2018\)
\(\Rightarrow P_{2018}=2018\)
\(\Rightarrow Q_{2018}=\frac{1}{P_{2018}}=\frac{1}{2018}\)
\(\Rightarrow Q_1Q_2+Q_2Q_3+...+Q_{2017}Q_{2018}=1-\frac{1}{2018}=\frac{2017}{2018}\)
