Question

(IQ2)Cho x, y, z thỏa: \(0\le\) x, y, z \(\le2\) và x+y+z=3.

Chứng minh: x³+y³+z³\(\le9\).

Answer 1

Lời giải:

Ta thấy \(x^3+y^3+z^3\leq 9\)

\(\Leftrightarrow (x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)\leq 9\)

\(\Leftrightarrow 27-3[(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz]\leq 9\)

\(\Leftrightarrow 3(xy+yz+xz)-xyz\geq 6(\star)\)

Vì \(x,y,z\in [0;2]\Rightarrow (x-2)(y-2)(z-2)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow xyz+4\leq 2(xy+yz+xz)\)

Mặt khác \(xyz\geq 0\rightarrow 2(xy+yz+xz)\geq 4\rightarrow xy+yz+xz\geq 2\)

Do đó \(3(xy+yz+xz)-xyz\geq 2+4+xyz-xyz=6\)

Từ đó BĐT \((\star)\) hay ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \((x,y,z)=(2,1,0)\) và các hoán vị.