Câu hỏi của Minh Hoàng

Question

I. Cho phương trình : $mx^2-\left(m+3\right)x+2m+1=0$

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$thỏa $\left|x_1-x_2\right|=2$

II. Cho phương trình $2x^2+\left(2m-1\right)x+m-1=0$...

Akai Haruma · Accepted Answer

Bài I: Trước tiên, để pt có thể có 2 nghiệm thì $m\neq 0$ PT có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta=(m+3)^2-4m(2m+1)>0$ $\Leftrightarrow -7m^2+2m+9>0$ $\Leftrightarrow -1< m< \frac{9}{7}$ Áp dụng hệ thức Vi-et: $\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{m+3}{m}\ x_1x_2=\frac{2m+1}{m}\end{matrix}\right.$ Khi đó: $|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{x_1^2-2x_1x_2+x_2^2}=\sqrt{(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-4x_1x_2}$ $=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{\frac{(m+3)^2}{m^2}-\frac{4(2m+1)}{m}}$ $=\sqrt{\frac{-7m^2+2m+9}{m^2}}$ Để $|x_1-x_2|=2\Leftrightarrow \sqrt{\frac{-7m^2+2m+9}{m^2}}=2$ $\Rightarrow \frac{-7m^2+2m+9}{m^2}=4\Rightarrow 11m^2-2m-9=0$ $\Rightarrow \left[\begin{matrix} m=1\ m=-\frac{9}{11}\end{matrix}\right.$ (đều thỏa mãn) Vậy...........Câu trả lời: Bài I: Trước tiên, để pt có thể có 2 nghiệm thì $m\neq 0$ PT có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta=(m+3)^2-4m(2m+1)>0$ $\Leftrightarrow -7m^2+2m+9>0$ $\Leftrightarrow -1< m< \frac{9}{7}$ Áp dụng hệ thức Vi-et: $\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{m+3}{m}\ x_1x_2=\frac{2m+1}{m}\end{matrix}\right.$ Khi đó: $|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{x_1^2-2x_1x_2+x_2^2}=\sqrt{(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-4x_1x_2}$ $=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{\frac{(m+3)^2}{m^2}-\frac{4(2m+1)}{m}}$ $=\sqrt{\frac{-7m^2+2m+9}{m^2}}$ Để $|x_1-x_2|=2\Leftrightarrow \sqrt{\frac{-7m^2+2m+9}{m^2}}=2$ $\Rightarrow \frac{-7m^2+2m+9}{m^2}=4\Rightarrow 11m^2-2m-9=0$ $\Rightarrow \left[\begin{matrix} m=1\ m=-\frac{9}{11}\end{matrix}\right.$ (đều thỏa mãn) Vậy...........

Akai Haruma · Answer

Câu II:

Để pt có 2 nghiệm pb thì:

$\Delta=(2m-1)^2-8(m-1)>0$

$\Leftrightarrow 4m^2-12m+9>0\Leftrightarrow (2m-3)^2>0\Leftrightarrow m\neq \frac{3}{2}$

Áp dụng hệ thức Vi-et: $\left\{\begin{matrix}
x_1+x_2=\frac{1-2m}{2}\
x_1x_2=\frac{m-1}{2}\end{matrix}\right.(*)$

a) Khi đó: $3x_1-4x_2=11$

$\Leftrightarrow 7x_1-4(x_1+x_2)=11$

$\Leftrightarrow 7x_1=11+4(x_1+x_2)=11+2(1-2m)=13-4m$

$\Leftrightarrow x_1=\frac{13-4m}{7}$

$\Rightarrow x_2=\frac{1-2m}{2}-x_1=\frac{-19-6m}{14}$

Suy ra:

$\frac{m-1}{2}=x_1x_2=\frac{13-4m}{7}.\frac{-19-6m}{14}$

$\Leftrightarrow 49(m-1)=(13-4m)(-19-6m)$

$\Leftrightarrow 24m^2-51m-198=0\Rightarrow m=\frac{33}{8}$ hoặc $m=-2$ (đều thỏa mãn)

b)

Từ $(*)$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
2(x_1+x_2)=1-2m\
4x_1x_2=2(m-1)\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 2(x_1+x_2)+4x_1x_2=1-2m+2(m-1)=-1$

$\Rightarrow 2(x_1+x_2)+4x_1x_2+1=0$

Đây chính là hệ thức liên hệ giữa $x_1,x_2$ độc lập với $m$Câu trả lời: Câu II: