Hình chữ nhật ABCD , M ,N lần lượt là trung điểm của AB và CD. E là giao điểm của AN và DM , F là giao điểm của CM và BN. AC cắt DM, MN,BN lần lượt tại H , O , K
a, chứng minh AMND . BMNC là hình chữ nhật.
c, EMFN là hình thoi
d, AH = HK = KC
e, E,O,F thẳng hàng
GIÚP MÌNH VS MN!..............................
a, Xét hình chữ nhật ABCD có MN là đường trung bình ta có:
\(AC\text{//}MN;BD\text{//}MN\)(theo tính chất đường trung bình của hình thang)
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{CNM}=\widehat{BMN}=\widehat{DNM}=90^o\)
(cặp góc đồng vị)
Do đó tứ giác AMNC và BMND là hình chữ nhận(theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật) (đpcm)
b, Vì AMNC và BMND là hình chữ nhật nên
\(\left\{{}\begin{matrix}ME=NE\\MF=NF\end{matrix}\right.\)(theo tính chất của hình chữ nhật)
Do đó tứ giác MEFN là hình thoi(theo dấu hiệu nhận biết của hình thoi)
Câu c;d em đang nghĩ nhá!
d/ Vì AMND là hình chữ nhật nên
\(\Rightarrow AE=EN\)(1)
Vì MENF là hình thoi nên
\(\Rightarrow\)EH // NK (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)EH là đường trung bình của \(\Delta ANK\)
\(\Rightarrow AH=HK\)
Chứng minh tương tự ta có \(KC=HK\)
Vậy \(AH=HK=KC\)
e/ Xét \(\Delta AMO\) và \(\Delta CNO\) có
\(\left\{{}\begin{matrix}AM=CN\\\widehat{AOM}=\widehat{CON}\\\widehat{AMO}=\widehat{CNO}=90^o\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AMO=\Delta CNO\)
\(\Rightarrow OM=ON\left(3\right)\)
Ta lại có: MENF là hình thoi nên có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. (4)
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow E,O,F\) thẳng hàng.
Rồi sau một hồi chật con nhà bà vật mới nghĩ ra câu c.
c, Xét hình thoi EMFN ta có:
\(\widehat{MEN}=\widehat{MFN}\)(theo tính chất của hình thoi)
\(\Rightarrow\widehat{AEM}=\widehat{CFN}\)(cùng bù với hai góc bằng nhau)
Ta có:
\(\widehat{BAC}=\widehat{DCA}\left(slt\right)\)
mà \(\widehat{MAE}=\widehat{NCF}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{HAE}=\widehat{KCF}\)
Xét tam giác AHE và tam giác CKE ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{HAE}=\widehat{KCF}\left(cmt\right)\\AE=CF\left(cmt\right)\\\widehat{AEH}=\widehat{CFK}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta AHE=\Delta CKE\left(g.c.g\right)\)
\(\Rightarrow AH=CK\left(cctu\right)\)
Xét tam giác AMN và tam giác CMN ta có:
AO và ME là đường trung tuyến của tam giác AMN
CO và NF là đường trung tuyến của tam giác CMN
mà \(\left\{{}\begin{matrix}AO\cap ME=\left\{H\right\}\\CO\cap NF=\left\{K\right\}\end{matrix}\right.\)
Do đó H là trọng tâm của tam giác AMN và K là trọng tâm của tam giác CMN
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OK=\dfrac{1}{2}CK\\OH=\dfrac{1}{2}AH\end{matrix}\right.\Rightarrow OK+OH=\dfrac{1}{2}CK+\dfrac{1}{2}AH\)
\(\Rightarrow HK=AH=CK\)
Vậy \(AH=HK=CK\)(đpcm)
