Question

Gọi M, m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \(y=\frac{4\cos^2x+6\sin x.\cos x+1}{4-\sin2x-2\sin^2x}\) , khi đó giá trị của 7M - 14m bằng:
A. \(-8\sqrt{2}-10\)

B. \(-8\sqrt{2}+10\)

C. \(18\sqrt{2}-10\)

D. \(24\sqrt{2}-10\)

Answer 1

\(y=\frac{2cos2x+2+3sin2x+1}{3-sin2x+cos2x}=\frac{2cos2x+3sin2x+3}{3-sin2x+cos2x}\)

\(\Leftrightarrow3y-y.sin2x+y.cos2x=2cos2x+3sin2x+3\)

\(\Leftrightarrow\left(y+3\right)sin2x+\left(2-y\right)cos2x=3y-3\)

Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất:

\(\left(y+3\right)^2+\left(2-y\right)^2\ge\left(3y-3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow7y^2-20y-4\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{10-8\sqrt{2}}{7}\le y\le\frac{10+8\sqrt{2}}{7}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}M=\frac{10+8\sqrt{2}}{7}\\m=\frac{10-8\sqrt{2}}{7}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow7M-14m=24\sqrt{2}-10\)