Kẻ \(HM//AB\) (\(M\in AC\)), kẻ \(HN//AC\) (\(N\in AB\))
\(\Rightarrow\widehat{HAM}=\widehat{AHN}\) (slt) , \(AH\) chung, \(\widehat{HAN}=\widehat{AHM}\) (slt)
\(\Rightarrow\Delta AHN=\Delta HAM\Rightarrow AM=HN\)
Mà \(AH< AN+HN\) (BĐT tam giác) \(\Rightarrow AH< AN+AM\)
\(\left\{{}\begin{matrix}HM//AB\\CH\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CH\perp HM\Rightarrow\Delta CHM\) vuông tại H
\(\Rightarrow CM\) là cạnh huyền \(\Rightarrow CM>HC\)
Tương tự ta có \(BN>HB\)
\(\Rightarrow HA+HB+HC< AN+AM+BN+CM=AB+AC\) (1)
b/ Hoàn toàn tương tự như trên, ta chứng minh được:
\(HA+HB+HC< AB+BC\) (2)
\(HA+HB+HC< AC+BC\) (3)
Cộng vế với vế (1), (2), (3):
\(3\left(HA+HB+HC\right)< 2\left(AB+AC+BC\right)\)
\(\Rightarrow HA+HB+HC< \frac{2}{3}\left(AB+AC+BC\right)\)
