a: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}+\hat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)
nên AEHF là tứ giác nội tiếp
b: AEHF là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{FAH}=\hat{FEH}\)
=>\(\hat{FAD}=\hat{FEB}\) (1)
Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC
=>BFEC nội tiếp (O)
=>OB=OC=OE=OF
BFEC nội tiếp
=>\(\hat{FEB}=\hat{FCB}\)
=>\(\hat{FEB}=\hat{OCF}\)
mà \(\hat{OCF}=\hat{OFC}\) (ΔOFC cân tại O)
nên \(\hat{FEB}=\hat{OFC}\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(\hat{OFC}=\hat{FAD}\)
BFEC là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{FEC}+\hat{FBC}=180^0\)
mà \(\hat{FEC}+\hat{AEF}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{AEF}=\hat{ABC}\)
ΔOEC có OE=OC
nên ΔOCE cân tại O
=>\(\hat{OEC}=\hat{OCE}=\hat{ACB}\)
\(\hat{AEF}+\hat{FEO}+\hat{OEC}=180^0\)
=>\(\hat{ABC}+\hat{OEF}+\hat{ACB}=180^0\)
=>\(\hat{OEF}=180^0-\left(\hat{ABC}+\hat{ACB}\right)=\hat{BAC}\)
Xét tứ giác AFDC có \(\hat{AFC}=\hat{ADC}=90^0\)
nên AFDC là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{FDC}+\hat{FAC}=180^0\)
=>\(\hat{FDO}+\hat{BAC}=180^0\)
=>\(\hat{FDO}+\hat{FEO}=180^0\)
=>FEOD là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{ODE}=\hat{OFE}\)
mà \(\hat{OFE}=\hat{OEF}\) (ΔOEF cân tại O)
nên \(\hat{ODE}=\hat{OEF}\)
=>\(\hat{ODE}=\hat{OEM}\)
Xét ΔODE và ΔOEM có
\(\hat{ODE}=\hat{OEM}\)
góc DOE chung
Do đó: ΔODE~ΔOEM
=>\(\frac{OD}{OE}=\frac{OE}{OM}\)
=>\(OD\cdot OM=OE^2\)
=>\(OD\cdot OM=OC^2\)
