Đại số lớp 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trâm Em

Giúp mk vs mn.

Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn xyz=1. Tìm GTLN của biểu thức:

A=1/x^3+y^3+1 + 1/y^3+z^3+1 + 1/z^3+x^3+1

Lightning Farron
26 tháng 3 2017 lúc 21:46

Ta chứng minh bổ đề \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3-xy\left(x+y\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)

\(\Rightarrow x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Rightarrow x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^3+y^3+1}=\dfrac{1}{x^3+y^3+xyz}\le\dfrac{1}{xy\left(x+y+z\right)}\)

\(=\dfrac{xyz}{xy\left(x+y+z\right)}=\dfrac{z}{x+y+z}\). Tương tự ta cũng có:

\(\dfrac{1}{y^3+z^3+1}\le\dfrac{x}{x+y+z};\dfrac{1}{z^3+x^3+1}\le\dfrac{y}{x+y+z}\)

Cộng theo vế các BĐT trên ta có:

\(A\le\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+z}+\dfrac{z}{x+y+z}=\dfrac{x+y+z}{x+y+z}=1\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)


Các câu hỏi tương tự
Vũ Anh
Xem chi tiết
Cao Thị Trà My
Xem chi tiết
kuchiki rukia
Xem chi tiết
Vũ Anh Quân
Xem chi tiết
Ken Tom Trần
Xem chi tiết
Mítt Chocolate
Xem chi tiết
Thư Đặng
Xem chi tiết
Duyên Nấm Lùn
Xem chi tiết
Isolde Moria
Xem chi tiết