Question

giúp mình câu 3 với ạ

Answer 1

Hình vẽ:

Answer 2

Lời giải:
1.

Vì $AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $OC\perp AC$

$\Rightarrow \widehat{OCA}=90^0$

Tương tự: $\widehat{OMA}=90^0$

Tứ giác $ACOM$ có tổng 2 góc đối $\widehat{OCA}+\widehat{OMA}=180^0$ nên là tứ giác nội tiếp.

2.

$ON\perp BN$ (theo tính chất tiếp tuyến) nên $ONB$ là tam giác vuông tại $N$

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác này:

$BN=\sqrt{OB^2-ON^2}=\sqrt{(2R)^2-R^2}=\sqrt{3}R$

Tương tự phần a, ta cm được $ONBC$ là tgnt.
$OB$ cắt $(O)$ tại $T$

$TB=OB-OT=2R-R=R$ nên $OT=TB$ hay $T$ là trung điểm của $OB$
Tam giác $ONB$ vuông tại $N$ nên trung tuyến $NT=\frac{OB}{2}=OT=ON$ nên tam giác $ONT$ là tam giác đều.

Tương tự: $OCT$ là tam giác đều

$\widehat{NBC}=180^0-\widehat{NOC}=180^0-(\widehat{NOT}+\widehat{COT})=180^0-(60^0+60^0)=60^0$

3.

Vì $AM\parallel BN$ (cùng vuông góc với $MN$) nên theo định lý Talet:

$\frac{AI}{IN}=\frac{AM}{BN}$

Mà: $BN=BC, AM=AC$ theo tính chất tiếp tuyến giao nhau

$\Rightarrow \frac{AI}{IN}=\frac{AC}{BC}(*)$

Theo định lý Talet đảo thì $IC\parallel BN$. Mà $BN\perp MN$ nên IC\perp MN$

----------------

Dễ thấy $E, F$ lần lượt là trung điểm của $MC, NC$ theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau

Do đó: $EF\parallel MN$ (tính chất đường trung bình)

Cũng theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau thì thấy:

$OA$ là phân giác $\widehat{COM}$; $OB$ là phân giác $\widehat{CON}$

$\widehat{COM}+\widehat{CON}=180^0$

$\Rightarrow OA\perp OB$

Mà $EC\perp AO$ nên $EC\parallel OB$

Áp dụng định lý Talet:

$\frac{AC}{CB}=\frac{AE}{EO}(**)$ 

Từ $(*); (**)\Rightarrow \frac{AI}{IN}=\frac{AE}{EO}$

Theo định lý Talet đảo thì $EI\parallel ON$ hay $EI\parallel MN$

Do vậy:
$EI\parallel EF$ (cùng song song với $MN$)

$\Rightarrow E,I,F$ thẳng hàng.

Answer 3

1.

Vì  là tiếp tuyến của  nên 

⇒ˆOCA=900⇒OCA^=900

Tương tự: ˆOMA=900OMA^=900

Tứ giác  có tổng 2 góc đối ˆOCA+ˆOMA=1800OCA^+OMA^=1800 nên là tứ giác nội tiếp.

2.

 (theo tính chất tiếp tuyến) nên  là tam giác vuông tại 

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác này:

Tương tự phần a, ta cm được  là tgnt.
 cắt  tại 

 nên  hay  là trung điểm của 
Tam giác  vuông tại  nên trung tuyến  nên tam giác  là tam giác đều.

Tương tự:  là tam giác đều

ˆNBC=1800−ˆNOC=1800−(ˆNOT+ˆCOT)=1800−(600+600)=600NBC^=1800−NOC^=1800−(NOT^+COT^)=1800−(600+600)=600

3.

Vì  (cùng vuông góc với ) nên theo định lý Talet:

Mà:  theo tính chất tiếp tuyến giao nhau

Theo định lý Talet đảo thì . Mà  nên IC\perp MN$

----------------

Dễ thấy  lần lượt là trung điểm của  theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau

Do đó:  (tính chất đường trung bình)

Cũng theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau thì thấy:

 là phân giác ˆCOMCOM^;  là phân giác ˆCONCON^

ˆCOM+ˆCON=1800COM^+CON^=1800

Mà  nên 

Áp dụng định lý Talet:

 

Từ 

Theo định lý Talet đảo thì  hay 

Do vậy:
 (cùng song song với )

 thẳng hàng.