Lời giải:
1)
\(I_1=\int xe^{-x^2-1}dx=\frac{1}{2}\int e^{-x^2-1}d(x^2+1)\)
\(=\frac{-e^{-x^2-1}}{2}+c\)
2)
Đặt \(x=\sin t\Rightarrow I_n=\int \frac{\sin ^ntd(\sin t)}{\cos t}\) \(=\int \sin ^ntdt=\int \sin ^{n-1}t\sin tdt\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\sin ^{n-1}t\\ dv=\sin tdt\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=(n-1)\sin ^{n-2}\cos t\\ v=-\cos t\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_n=-\cos t \sin ^{n-1}t+(n-1)\int \sin^{n-2}\cos ^2tdt\)
\(=-\cos t\sin ^{n-1}t+(n-1)\int \sin ^{n-2}t(1-\sin ^2t)dt\)
\(=-\cos t\sin ^{n-1}t+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n\)
\(\Rightarrow I_n=\frac{-\cos t\sin ^{n-1}t+(n-1)I_{n-2}}{n}\) với \(n=1,2,.....\)
Đây là công thức truy hồi. Vì với mỗi $n$ ta xác định được một kiểu nguyên hàm khác nhau nên khó để viết dưới dạng công thức tổng quát. Người ta thường biểu diễn nguyên hàm mang tính tổng quát dưới dạng dãy truy hồi
