Bài 1: Nguyên hàm

Cho hàm số \(f\left(x\right)\) xác định trên  \(\mathbb{R}\)\ \(\left\{\dfrac{1}{2}\right\}\) thỏa mãn \(f'\left(x\right)=\dfrac{2}{2x-1}\) và \(f\left(0\right)=1,f\left(1\right)=2.\) Giá trị của biểu thức \(f\left(-1\right)+f\left(3\right)\) bằng 

1. \(4+\ln15\).
2. \(2+\ln15\).
3. \(3+\ln15\).
4. \(\ln15\).

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

1. \(\int\limits\sin^2\dfrac{x}{2}\text{d}x=\dfrac{x+\sin x}{2}+C\).
2. \(\int\limits\left(3-2x\right)^4\text{d}x=\dfrac{-\left(3-2x\right)^5}{10}+C\).
3. \(\int\limits\sqrt{4x-1}\text{d}x=\dfrac{1}{6}\sqrt{\left(4x-1\right)^3}+C\).
4. \(\int\limits\sqrt[3]{5-6x}\text{d}x=-\dfrac{1}{8}\sqrt[3]{\left(5-6x\right)^4}+C\).

Hàm số \(F\left(x\right)\) có \(F'\left(x\right)=\dfrac{3-2\cot^2x}{\cos^2x}\) và  \(F\left(\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right)=10\). Khẳng định nào sau đây đúng?

1. \(F\left(x\right)=3\tan x+2\cot x\).
2. \(F\left(x\right)=3\tan x+2\cot x+5\).
3. \(F\left(x\right)=3\tan x-2\cot x+5\).
4. \(F\left(x\right)=3\tan x+2\cot x-5\).

Khẳng định nào sau đây sai?

1. \(\int\limits\dfrac{x\text{dx}}{3-2x^2}=-\dfrac{1}{4}\ln\left|3-2x^2\right|+C\).
2.   \(\int\dfrac{\text{dx}}{x\ln x}=\int\dfrac{\text{d}\ln x}{\ln x}=\ln\left|\ln x\right|+C\).
3. \(\int\limits\dfrac{\text{dx}}{1+\cos x}=\dfrac{1}{2}\tan\dfrac{x}{2}+C\).
4. \(\int\limits\dfrac{\text{dx}}{x\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+1}+1}\right|+C\).

Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+2x}{\left(x+1\right)^2}\)?

1. \(F\left(x\right)=\dfrac{x^2-x-1}{x+1}\).
2. \(F\left(x\right)=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}\).
3. \(F\left(x\right)=\dfrac{x^2+1}{x+1}\).
4. \(F\left(x\right)=\dfrac{x^2-3x-3}{x+1}\).

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

1. \(\int f\left(x\right)\text{d}x=\sqrt{2x+1}+C\).
2. \(\int f\left(x\right)\text{d}x=2\sqrt{2x+1}+C\).
3. \(\int f\left(x\right)\text{d}x=\dfrac{1}{2}\sqrt{2x+1}+C\).
4. \(\int f\left(x\right)\text{d}x=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}+C\).

Cho hàm số \(F\left(x\right)\) có \(F'\left(x\right)=\dfrac{2}{\left(2x-1\right)^2}-\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

1. \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{2x-1}-\dfrac{1}{x-1}+C\).
2. \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{2x-1}+C\).
3. \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{2x-1}+C\).
4. \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{C}{2x-1}\).

Họ nguyên hàm của hàm số sau \(f\left(x\right)=\dfrac{2^x-1}{e^x}\) là

1. \(\dfrac{2^x}{e^x}+e^{-x}+C\).
2. \(\dfrac{2^x}{e^x\left(\ln2-1\right)}+e^{-x}+C\).
3. \(\dfrac{2^x}{e^x\left(\ln2-1\right)}+C\).
4. \(\dfrac{2^x}{\ln2-1}+e^{-x}+C\).

Tính \(\int\sin^2x\text{d}x\).

1. \(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\sin2x+C\).
2. \(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}\sin2x+C\).
3. \(\cos^2x+C\).
4. \(\dfrac{1}{2}\cos^2x+C\).

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=3x^2+1\) là

1. \(x^3+C\).
2. \(\dfrac{x^3}{3}+x+C\).
3. \(6x+C\).
4. \(x^3+x+C\).

Nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\cos3x\) là

1. \(3\sin3x+C\).
2. \(\dfrac{1}{3}\sin3x+C\).
3. \(-\dfrac{1}{3}\sin3x+C\).
4. \(\sin3x+C\).

Nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=x^2+\dfrac{2}{x^2}\) là

1. \(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{2}{x}+C\).
2. \(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{1}{x}+C\).
3. \(\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2}{x}+C\).
4. \(\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{1}{x}+C\).

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}\) và \(F\left(2\right)=1\). Giá trị của F(3) là

1. \(\ln2-1\).
2. \(\ln2+1\).
3. \(\dfrac{1}{2}\).
4. \(\dfrac{7}{4}\).

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\cos2x\). Khẳng định nào sau đây đúng?

1. \(\int f\left(x\right)\text{d}x=\dfrac{1}{2}\sin2x+C\).
2. \(\int f\left(x\right)\text{d}x=-\dfrac{1}{2}\sin2x+C\).
3. \(\int f\left(x\right)\text{d}x=2\sin2x+C\).
4. \(\int f\left(x\right)\text{d}x=-2\sin2x+C\).

Hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x-2}{x^3}\) có một nguyên hàm là F(x). Biết \(F\left(-1\right)=3\), khẳng định nào sau đây đúng?

1. \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}+3\).
2. \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}-3\).
3. \(F\left(x\right)=-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}+1\).
4. \(F\left(x\right)=-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}+1\).

Họ nguyên hàm của \(f\left(x\right)=x^e\) là

1. \(\dfrac{x^e}{\ln x}+C\).
2. \(\dfrac{x^{e+1}}{e+1}+C\).
3. \(e.x^{e-1}+C\).
4. \(x^e+C\).

Họ nguyên hàm của  \(f\left(x\right)=2017^x\) là

1. \(\dfrac{2017^x}{\ln2017}+C\).
2. \(2017^x+C\).
3. \(\dfrac{2017^{x+1}}{x+1}+C\).
4. \(2017^x\ln2017+C\).

Khẳng định nào sau đây đúng? 

1. \(\int\tan^2x\text{dx}=\cot^2x+C\).
2. \(\int\tan^2x\text{dx}=\dfrac{1}{2}\cot^2x+C\).
3. \(\int\tan^2x\text{dx}=\cot x-x+C\).
4. \(\int\tan^2x\text{dx}=\tan x-x+C\).

Khẳng định nào sau đây đúng?

1. \(\int e^{3-2x}\text{d}x=-2e^{3-2x}+C\).
2. \(\int e^{3-2x}\text{d}x=-\frac{1}{3-2x}e^{3-2x}+C\).
3. \(\int e^{3-2x}\text{d}x=-\frac{1}{2}e^{3-2x}+C\).
4. \(\int e^{3-2x}\text{d}x=\frac{1}{2}e^{3-2x}+C\).

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}}\) là

1. \(\dfrac{5}{3}x^{\frac{5}{3}}+\dfrac{7}{6}x^{\frac{7}{6}}+\dfrac{2}{3}x^{\frac{2}{3}}+C\).
2. \(\dfrac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+\dfrac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}+\dfrac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}+C\).
3. \(\dfrac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}+\dfrac{1}{6}x^{\frac{-5}{6}}-\dfrac{1}{3}x^{\frac{-4}{3}}+C\).
4. \(-3x^{-\frac{1}{3}}-\dfrac{6}{5}x^{\frac{-5}{6}}-\dfrac{3}{4}x^{\frac{-4}{3}}+C\).