Cho hàm số \(f\left(x\right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\)\ \(\left\{\dfrac{1}{2}\right\}\) thỏa mãn \(f'\left(x\right)=\dfrac{2}{2x-1}\) và \(f\left(0\right)=1,f\left(1\right)=2.\) Giá trị của biểu thức \(f\left(-1\right)+f\left(3\right)\) bằng
\(4+\ln15\).\(2+\ln15\).\(3+\ln15\).\(\ln15\).Hướng dẫn giải:\(f\left(x\right)=\int f'\left(x\right)\text{d}x=\int\dfrac{2\text{d}x}{2x-1}=\int\dfrac{\text{d}\left(2x-1\right)}{2x-1}=\ln\left|2x-1\right|+C\). Vì \(f\left(x\right)=\ln\left|2x-1\right|+C\) xác định và liên tục trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;\dfrac{1}{2}\right)\) và \(\left(\dfrac{1}{2};+\infty\right)\) nên hằng số \(C\) trong công thức xác định \(f\left(x\right)\) phải được hiểu là \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\ln\left(2x-1\right)+C_1,\left(x\in\left(\dfrac{1}{2};+\infty\right)\right)\\\ln\left(1-2x\right)+C_2,\left(x\in\left(-\infty;\dfrac{1}{2}\right)\right)\end{matrix}\right.\). Các giả thiết \(f\left(0\right)=1,f\left(1\right)=2\) cho phép xác định \(C_1,C_2:\) \(\left\{{}\begin{matrix}2=f\left(1\right)=\ln\left(2.1-1\right)+C_1\\1=f\left(0\right)=\ln\left(1-2.0\right)+C_2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}C_1=2\\C_2=1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\ln\left(2x-1\right)+2,\left(x>\dfrac{1}{2}\right)\\\ln\left(1-2x\right)+1,\left(x< \dfrac{1}{2}\right)\end{matrix}\right.\)
Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(3=\right)\ln5+2\\f\left(-1\right)=\ln3+1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(-1\right)+f\left(3\right)=3+\ln3+\ln5=3+\ln15.\)