Bài 1: Nguyên hàm

Nội dung lý thuyết

Các phiên bản khác

NGUYÊN HÀM

I. Nguyên hàm và tính chất

1) Nguyên hàm là gì?

Định nghĩa nguyên hàm: Cho hàm số f(x) xác định trên tập K. Hàm F(x) gọi là nguyên hàm của f(x) nếu đạo hàm của nó F'(x) bằng f(x) với mọi x thuộc K.

Ví dụ:

 - Hàm F(x) = x2 là nguyên hàm của hàm f(x) = 2x trên tập số thực R, vì \(F'\left(x\right)=f\left(x\right)\)

 - Hàm \(F\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3\) là nguyên hàm của hàm \(f\left(x\right)=x^2\) trên tập số thực R, vì \(F'\left(x\right)=f\left(x\right)\)

 - Hàm \(F\left(x\right)=\ln x\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\frac{1}{x}\) trên \(\left(0;+\infty\right)\), vì \(F'\left(x\right)=f\left(x\right)\)

Họ nguyên hàm:

  *) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì F(x) + C (với C là một hằng số) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

  *) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (với C là hằng số), khi đó F(x) + C được gọi là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu:

          \(\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C\)

Chú ý: Biểu thức \(f\left(x\right)\text{dx}\) chính là vi phân của F(x)vì \(\text{d}F\left(x\right)=F'\left(x\right)\text{dx}=f\left(x\right)\text{dx}\).

2) Tính chất của nguyên hàm

TC1:      \(\int f'\left(x\right)\text{dx}=f\left(x\right)+C\)

     Ví dụ; \(\int\left(\cos x\right)'\text{dx}=\int\left(-\sin x\right)\text{dx}=\cos x+C\)

TC2:     \(\int k.f\left(x\right)\text{dx}=k\int f\left(x\right)\text{dx}\)     với k là một hằng số khác 0

TC3:    \(\int\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]\text{dx}=\int f\left(x\right)\text{dx}+\int g\left(x\right)\text{dx}\)

TC4: Mọi hàm số f(x) mà liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

3. Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp

$$\boxed{F'(x)=f(x)\Rightarrow \int f(x)dx=F(x)+C}$$

Bảng nguyên hàm - tích phân cơ bản

1. $\displaystyle\int x^\alpha dx=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$

  • $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^n}dx=\int x^{-n}dx$
  • $\displaystyle\int \sqrt[n]{x^m}dx=\int x^{m/n}dx$
  • $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt[n]{x^m}}dx=\int x^{-m/n}dx$

1. $\displaystyle\int  (ax+b)^\alpha dx=\dfrac{1}{a}.\dfrac{(ax+b)^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$

  • $\displaystyle\int \dfrac{1}{(ax+b)^n}dx=\int (ax+b)^{-n}dx$
  • $\displaystyle\int \sqrt[n]{(ax+b)^m}dx=\int (ax+b)^{m/n}dx$
  • $ \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt[n]{(ax+b)^m}}dx=\int (ax+b)^{-m/n}dx$
2. $\displaystyle\int \dfrac{1}{x}dx=\ln |x|+C$ 2. $\displaystyle\int \dfrac{1}{ax+b}dx=\dfrac{1}{a}.\ln |ax+b|+C$
3. $\displaystyle\int \alpha^xdx=\dfrac{\alpha^x}{\ln \alpha}+C$ 3. $\displaystyle\int \alpha^{ax+b}dx=\dfrac{\alpha^{ax+b}}{\ln \alpha}+C$
4. $\displaystyle\int \sin xdx=-\cos x+C$ 4. $\displaystyle\int \sin (ax+b)dx=-\dfrac{1}{a}\cos (ax+b)+C$
5. $\displaystyle\int \cos xdx=\sin x+C$ 5. $\displaystyle\int \cos (ax+b)dx=\dfrac{1}{a}\sin (ax+b)+C$
6. $\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2 x}dx=\tan x+C$ 6. $\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2 (ax+b)}dx=\dfrac{1}{a}\tan (ax+b)+C$
7. $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin^2 x}dx=-\cot x+C$ 7. $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin^2 (ax+b)}dx=-\dfrac{1}{a}\cot (ax+b)+C$

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle\int \dfrac{\sqrt[3]{x}-x^2}{x}dx$.

ĐS: $I=3\sqrt[3]{x}-\dfrac{x^2}{2}+C$
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle\int \dfrac{2x^2+x+3}{2x+1}dx$.

ĐS: $I=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{3}{2}\ln |2x+1|+C$

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle\int (3\cos x-3^{x-1})dx$.

Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x.\cos 3xdx$.
Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle\int \tan^2 xdx$.

TÀI LIỆU ĐỌC THÊM

Các dạng toán Nguyên hàm, tích phân

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN