Bài 1: Nguyên hàm

I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1. Nguyên hàm

Định nghĩa:

Cho hàm số \(f\left(x\right)\) xác định trên tập \(K\). Hàm số \(F\left(x\right)\) gọi là nguyên hàm của \(f\left(x\right)\) trên \(K\) nếu \(F'\left(x\right)=f\left(x\right)\) với mọi \(x\in K\).

Ví dụ 1:

   +) Hàm \(F\left(x\right)=x^2\) là nguyên hàm của hàm \(f\left(x\right)=2x\) trên tập số thực \(R\), vì \(F'\left(x\right)=\left(x^2\right)'=2x=f\left(x\right),\forall x\in R\) ;

  +) Hàm \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{3}x^3\) là nguyên hàm của hàm \(f\left(x\right)=x^2\) trên tập số thực \(R\), vì \(F'\left(x\right)=3.\dfrac{1}{3}x^2=x^2=f\left(x\right),\forall x\in R\) ;

  +) Hàm \(F\left(x\right)=\ln x\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}\) trên \(\left(0;+\infty\right)\), vì \(F'\left(x\right)=\left(\ln x\right)'=\dfrac{1}{x}=f\left(x\right),\forall x\in\left(0;+\infty\right)\).

- Định lí 1:

Nếu \(F\left(x\right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)\) trên \(K\) thì với mỗi hằng số \(C\), hàm số \(G\left(x\right)=F\left(x\right)+C\) cũng là một nguyên hàm của \(f\left(x\right)\) trên \(K\).

- Định lí 2:

Nếu \(F\left(x\right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)\) trên \(K\) thì mọi nguyên hàm của \(f\left(x\right)\) trên \(K\) đều có dạng \(F\left(x\right)+C\), với \(C\) là một hằng số.

Từ hai định lí trên cho thấy:

Nếu \(F\left(x\right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)\) trên \(K\) thì \(F\left(x\right)+C\), \(C\in R\) là họ tất cả nguyên hàm của \(f\left(x\right)\) trên \(K\). Kí hiệu:

          \(\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C\)

Chú ý: Biểu thức \(f\left(x\right)dx\) chính là vi phân của nguyên hàm \(F\left(x\right)\) của \(f\left(x\right)\), vì \(\text{d}F\left(x\right)=F'\left(x\right)\text{ }dx=f\left(x\right)\text{ }dx\).

Ví dụ 2:

    +) Với \(x\in R\), \(\int2xdx=x^2+C\) ;

    +) Với \(s\in\left(0;+\infty\right)\), \(\int\dfrac{1}{s}ds=\ln s+C\) ;

    +) Với \(t\in\left(-\infty;+\infty\right)\), \(\int\cos tdt=\sin t+C\).

2. Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 1:    

  \(\int f'\left(x\right)\text{dx}=f\left(x\right)+C\)

Ví dụ 3: \(\int\left(\cos x\right)'\text{ }dx=\int\left(-\sin x\right)\text{ }dx=\cos x+C\)

- Tính chất 2:

  \(\int k.f\left(x\right)\text{ }dx=k\int f\left(x\right)\text{ }dx\)     (với \(k\) là một hằng số khác 0).

- Tính chất 3:

 \(\int\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]\text{ }dx=\int f\left(x\right)\text{ }dx\pm\int g\left(x\right)\text{ }dx\).

Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=3\sin x+\dfrac{2}{x}\) trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\).

Giải:

Với \(x\in\left(0;+\infty\right)\), ta có:

\(\int\left(3\sin x+\dfrac{2}{x}\right)dx=3\int\sin xdx+2\int\dfrac{1}{x}dx=-3\cos x+2\ln x+C\).

3. Sự tồn tại nguyên hàm

- Định lí 3:

Mọi hàm số \(f\left(x\right)\) mà liên tục trên \(K\) đều có nguyên hàm trên \(K\).

Ví dụ 5: 

a) Hàm số \(f\left(x\right)=x^{\dfrac{2}{3}}\) có nguyên hàm trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\) và

           \(\int x^{\dfrac{2}{3}}dx=\dfrac{3}{5}x^{\dfrac{5}{3}}+C\)

b) Hàm số \(g\left(x\right)=\dfrac{1}{\sin^2x}\) có nguyên hàm trên từng khoảng \(\left(k\pi;\left(k+1\right)\pi\right)\left(k\in Z\right)\) và

          \(\int\dfrac{1}{\sin^2x}dx=-\cot x+C\).

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp

Ví dụ 6: Tính \(\int(3\cos x-3^{x-1})dx\) trên khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\).

Giải:

Với \(x\in\left(-\infty;+\infty\right)\) ta có:

      \(\int(3\cos x-3^{x-1})dx=3\int\cos xdx-\dfrac{1}{3}\int3^xdx\)

                                      \(=3\sin x-\dfrac{1}{3}.\dfrac{3^x}{\ln x}+C=3\sin x-\dfrac{3^{x-1}}{\ln3}+C\)

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1. Phương pháp đổi biến số

Định lí:

Nếu \(\int f\left(u\right)du=F\left(u\right)+C\) và \(u=u\left(x\right)\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

           \(\int f\left(u\left(x\right)\right)u'\left(x\right)dx=F\left(u\left(x\right)\right)+C\).

Hệ quả:

Với \(u=ax+b\left(a\ne0\right)\) ta có

          \(\int\left(ax+b\right)dx=\dfrac{1}{a}F\left(ax+b\right)+C\)

Ví dụ 7: 

    Vì \(\int\sin udu=-\cos u+C\) nên theo hệ quả ta có

        \(\int\sin\left(3x-1\right)dx=-\dfrac{1}{3}\cos\left(3x-1\right)+C\).

Ví dụ 8: Tính \(\int\dfrac{x}{\left(x+1\right)^5}dx\).

Giải:

Đặt \(u=x+1\) thì \(u'=1\) và \(\dfrac{x}{\left(x+1\right)^5}dx\) được viết thành \(\dfrac{u-1}{u^5}du\). Khi đó nguyên hàm cần tính trở thành: 

\(\int\dfrac{u-1}{u^5}du=\int\left(\dfrac{1}{u^4}-\dfrac{1}{u^5}\right)du=\int u^{-4}du-\int u^{-5}du=-\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{u^3}+\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{u^4}+C\)

Thay \(u=x+1\) ta được \(\int\dfrac{x}{\left(x+1\right)^5}dx=\dfrac{1}{\left(x+1\right)^3}\left(\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{3}\right)+C\).

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Nếu hai hàm số \(u=u\left(x\right)\) và \(v=v\left(x\right)\) có đạo hàm liên tục trên \(K\) thì 

       \(\int u\left(x\right)v'\left(x\right)dx=u\left(x\right)v\left(x\right)-\int u'\left(x\right)v\left(x\right)dx\).

Chú ý: Vì \(v'\left(x\right)dx=dv\), \(u'\left(x\right)dx=du\) nên ta có thể viết thành

           \(\int udv=uv-\int vdu\).

Ví dụ 9: Tính 

     a) \(\int xe^xdx\)  ;

    b) \(\int\ln xdx\).

Giải:

a) Đặt \(u=x\) và \(dv=e^xdx\) ta có \(du=dx\) và \(v=e^x\)

   Do đó \(\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+C\)

b) Đặt \(u=\ln x\) và \(dv=dx\) ta có \(du=\dfrac{1}{x}dx\) và \(v=x\)

   Do đó \(\int\ln xdx=x\ln x-\int dx=x\ln x-x+C\).