Đặt \(\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}=t\ge0\)
\(\Rightarrow t^2=x+1+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}+4-x=2\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}+5\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}=\dfrac{t^2-5}{2}\)
Thay vào phương trình ta được:
\(t+\dfrac{t^2-5}{2}=5\)
\(\Leftrightarrow t^2+2t-15=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-5\left(loại\right)\\t=3\left(t/m\right)\end{matrix}\right.\)
Với t = 3 thì \(\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}=3\)
\(\Leftrightarrow x+1+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}+4-x=9\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}=2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le4\\\left(x+1\right)\left(4-x\right)=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le4\\\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Vậy \(S=\left\{0;3\right\}\) là tập nghiệm của phương trình.
Hoàng Thị Ngọc Anh em có cách này nè:) Nhưng hơi lâu (đặt thôi:v) Và em cũng ko chắc đâu:(
ĐK: \(-1\le x\le4\)
Đặt \(\sqrt{x+1}=a\ge0;\sqrt{4-x}=b\ge0\)
Suy ra a2 + b2 = 5
Theo đề bài ta có hệ pt: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+ab=5\\a^2+b^2=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=5-\left(a+b\right)\left(1\right)\\\left(a+b\right)^2=5+2ab\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Thay (1) vào (2) suy ra \(\left(a+b\right)^2=5+2\left[5-\left(a+b\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+2\left(a+b\right)-15=0\)
Đặt a + b = t > 0 (vì \(\sqrt{x+1}=a\ge0;\sqrt{4-x}=b\ge0\) và a, b ko thể đồng thời bằng 0). Đây là pt bậc 2 ẩn t. Giải ra ta được: \(\left[{}\begin{matrix}t=3\\t=-5\left(L\right)\end{matrix}\right.\)
t = 3 hay a + b = 3. Thay vào (1) suy ra ab = 5 - (a+ b) = 5 - 3 = 2
Ta được hệ \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\ab=2\end{matrix}\right.\).Theo hệ thức Viet đảo, a; b là hai nghiệm của pt:
\(y^2-3y+2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\\y=1\end{matrix}\right.\)
Với \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=4\\4-x=1\end{matrix}\right.\left(\text{thay cái đặt ban đầu vào rồi bình phương}\right)\Leftrightarrow x=3\) (TM)
Với \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=1\\4-x=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=0\) (TM)
Vậy S = {0;3} là tập hợp nghiệm của pt
Khi Điều kiện: \(- 1 \le x \le 4\)
Đặt: \(t = \sqrt {x + 1} + \sqrt {4 - x} > 0 \Rightarrow 5 + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} = {t^2}\)
Khi đó phương trình trở thành: \(t + \dfrac{{{t^2} - 5}}{2} = 5 \Rightarrow {t^2} + 2t - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 3\\ t = - 5\left( {loai} \right) \end{array} \right.\)
Khi \(t=3 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} + \sqrt {4 - x} = 3 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 3 \end{array} \right.\)
