Question

Giải phương trình:

\(\sqrt{x-2}-\sqrt{x-3}=\sqrt{x-4}\)

Answer 1

ĐKXĐ: x\(\ge4\)

Đặt x-3=t ( t\(\ge0\))

Thay vào tìm được t=\(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{9+2\sqrt{3}}{3}\)

Answer 2

\(\sqrt{x-2}\)-\(\sqrt{x-3}\)=\(\sqrt{x-4}\)(1)

x-2≥0⇔x≥2

ĐKXĐ: x-3≥0⇔x≥3 ⇔x≥4

x-4≥0⇔x≥4

TXĐ:{x∈R/x≥4}

Ta có:

(1)⇔\(\sqrt{x-2}\)=\(\sqrt{x-4}\)+\(\sqrt{x-3}\)

⇔(\(\sqrt{x-2}\) )²=(\(\sqrt{x-4}+\sqrt{x-3}\))²(vì cả hai vế đều không âm)

⇔x-2 =x-4+2\(\sqrt{\left(x-4\right)\left(x-3\right)}\)+x-3

⇔x-2=2x-7+2\(\sqrt{x^2-7x+12}\)

⇔5-x=2\(\sqrt{x^2-7x+12}\)(2)

Điều kiện:5-x≥0⇔x≤5,ta có:

(2)⇔(5-x)²=(2\(\sqrt{x^2-7x+12}\))²(vì cả hai vế đều không âm)

⇔25-10x+x²=4(x²-7x+12)

⇔25-10x+x²=4x²-28x+48

⇔3x²-18x+23=0

⇔x²-6x+\(\dfrac{23}{3}\)=0

⇔(x²-2.x.3+3²)-\(\dfrac{27}{3}+\dfrac{23}{3}\)=0

⇔(x-3)²=\(\dfrac{4}{3}\)

⇔\(\left[{}\begin{matrix}x-3=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\\x-3=\dfrac{-2}{\sqrt{3}}\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{9+2\sqrt{3}}{3}\\x=\dfrac{9-2\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right.\) ➜x=\(\dfrac{9+2\sqrt{3}}{3}\)

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là:x=\(\dfrac{9+2\sqrt{3}}{3}\)