a)Điều kiện: \(x\ge\frac{3}{2}\)
Phương trình đã cho tương đương với:
\(\frac{\left(3x-2\right)-\left(x+1\right)}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+1}}=\left(2x-3\right)\left(x+1\right)\Leftrightarrow\frac{2x-3}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+1}}=\left(2x-3\right)\left(x+1\right)\)
Chú ý rằng \(\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+1}\ge\sqrt{x+1}>1\), do đó
\(\frac{1}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+1}}< 1\)
Trong khi đó \(x+1>1\) nên phương trình có nghiệm duy nhất là \(x=\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{3m-2x}=2x+2\) (\(x\ge-1\))
\(\Leftrightarrow3m-2x=\left(2x+2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4x^2+10x+4=3m\)
Đặt \(f\left(x\right)=4x^2+10x+4\), xét \(f\left(x\right)\) trên \([-1;+\infty)\)
\(a=4>0\); \(-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{4}< -1\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên miền đã cho
\(\Rightarrow f\left(x\right)\ge f\left(-1\right)=-2\)
\(\Rightarrow\) Để pt đã cho có nghiệm thì \(3m\ge-2\Rightarrow m\ge-\frac{2}{3}\)
