ĐKXĐ: \(x\ge-4;y\ne7\)
\(x^3+y^3+6xy-8=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+6xy-8=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left[\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)+4\right]-3xy\left(x+y-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left[\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)+4-3xy\right]=0\)
TH1: Ta có:\(\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)+4-3xy\ge\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)+4-\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)
\(=\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)+4=\frac{1}{4}\left(x+y+4\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=-2\)
Thay vào pt dưới thấy ko thỏa mãn \(\Rightarrow\) loại
TH2: \(x+y-2=0\Rightarrow y=2-x\) thay vào pt dưới:
\(\frac{x^3+4x^2+5x-1}{x+5}=\sqrt{x+4}\) \(\Leftrightarrow x^3+4x^2+5x-1=\left(x+5\right)\sqrt{x+4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(x+1\right)^2+x+1=\left(x+4\right)\sqrt{x+4}+x+4+\sqrt{x+4}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=a\\\sqrt{x+4}=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^3+a^2+a=b^3+b^2+b\) (1)
\(f\left(t\right)=t^3+t^2+t\Rightarrow f'\left(t\right)=3t^2+2t+1>0\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow a=b\Leftrightarrow x+1=\sqrt{x+4}\) (bạn ko thích xài hàm số thì từ (1) chuyển vế rồi ghép cặp cũng được)
\(\Leftrightarrow x^2+2x+1=x+4\) (\(x\ge-1\))
\(\Leftrightarrow x^2+x-3=0\Rightarrow x=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\Rightarrow y=\frac{5-\sqrt{13}}{2}\)
