Question

Giải hệ phương trình : \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+xz=2\\y^2+yz+xy=3\\z^2+xz+yz=4\end{matrix}\right.\)

Answer 1

Lời giải:

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x(x+y+z)=2\\ y(y+z+x)=3\\ z(z+x+y)=4\end{matrix}\right.(*)\).

Dễ thấy $x+y+z\neq 0$. Khi đó ta có:

\(\frac{x}{y}=\frac{x(x+y+z)}{y(y+z+x)}=\frac{2}{3}(1)\)

\(\frac{y}{z}=\frac{y(y+z+x)}{z(z+x+y)}=\frac{3}{4}(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\) .

Đặt \(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k\Rightarrow x=2k; y=3k; z=4k\)

Thay vào PT thứ nhất của $(*)$ suy ra:

\(2k(2k+3k+4k)=2\)

\(\Leftrightarrow 18k^2=2\Rightarrow k=\pm \frac{1}{3}\)

Nếu \(k=\frac{1}{3}\Rightarrow (x,y,z)=(2k,3k,4k)=(\frac{2}{3}; 1; \frac{4}{3})\)

Nếu \(k=\frac{-1}{3}\Rightarrow (x,y,z)=(2k,3k,4k)=(\frac{-2}{3}; -1; \frac{-4}{3})\)