Question

Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt[4]{32-x}-y^2=-3\\\sqrt[4]{x}+\sqrt{32-x}+6y=24\end{matrix}\right.\)

Answer 1

ĐKXĐ: ...

Áp dụng 2 BĐT cơ bản:

\(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)

\(a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\left(a+b\right)^4\Rightarrow a+b\le\sqrt[4]{8\left(a^4+b^4\right)}\)

Do đó, cộng vế với vế 2 pt:

\(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{32-x}+\sqrt{x}+\sqrt{32-x}=y^2-6y+21\)

\(VP=\left(y-3\right)^2+12\ge12\)

\(VT\le\sqrt[4]{8\left(x+32-x\right)}+\sqrt{2\left(x+32-x\right)}=12\)

\(\Rightarrow x=32-x\)