Question

Giải bất phương trình :

                 \(\left(\sqrt{3+\sqrt{8}}\right)^x+\left(\sqrt{3-\sqrt{8}}\right)^x\le34\)

Answer 1

Vì \(\left(\sqrt{3+\sqrt{8}}\right)^x.\left(\sqrt{3-\sqrt{8}}\right)^x=1\)

nên đặt \(t=\left(\sqrt{3+\sqrt{8}}\right)^x>0\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{3-\sqrt{8}}\right)^x=\frac{1}{t}\)

Bất phương trình trở thành : \(t+\frac{1}{t}\le34\Leftrightarrow t^2-34t+1\le0\)

                                                           \(\Leftrightarrow17-6\sqrt{8}\le t\le17+6\sqrt{8}\)

                                                           \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3+\sqrt{8}}\right)^{-4}\le\left(\sqrt{3+\sqrt{8}}\right)^x\le\left(\sqrt{3+\sqrt{8}}\right)^4\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left[-4;4\right]\)