§2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Hướng dẫn giải

a) ĐKXĐ: D = {x ∈ R/x ≠ 0 và x + 1 ≠ 0} = R\{0;- 1}.

b) ĐKXĐ: D = {x ∈ R/x² - 4 ≠ 0 và x² - 4x + 3 ≠ 0} = R\{±2; 1; 3}.

c) ĐKXĐ: D = R\{- 1}.

d) ĐKXĐ: D = {x ∈ R/x + 4 ≠ 0 và 1 - x ≥ 0} = (-∞; - 4) ∪ (- 4; 1].

(Trả lời bởi Minh Thư)

Hướng dẫn giải

a) Gọi D là điều kiện xác định của biểu thức vế trái D = [- 8; +∞]. Vế trái dương với mọi x ∈ D trong khi vế phải là số âm. Mệnh đề sai với mọi x ∈ D. Vậy bất phương trình vô nghiệm.

b) Vế trái có ≥ 1 ∀x ∈ R,

≥ 1 ∀x ∈ R

=> + ≥ 2 ∀x ∈ R.

Mệnh đề sai ∀x ∈ R. Bất phương trình vô nghiệm.

c) ĐKXĐ: D = [- 1; 1]. Vế trái âm với mọi x ∈ D trong khi vế phải dương.

(Trả lời bởi Minh Thư)

Hướng dẫn giải

a) Tương đương. vì nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với -1 và đổi chiều bất phương trình thì được bất phương trình thứ 2.

b) Chuyển vế các hạng tử vế phải và đổi dấu ở bất phương trình thứ nhất thì được bất phương trình thứ tương đương.

c) Tương đương. Vì cộng hai vế bất phương trình thứ nhất với với mọi x ta được bất phương trình thứ 3.

d) Điều kiện xác định bất phương trình thứ nhất: D ={x ≥ 1}.

2x + 1 > 0 ∀x ∈ D. Nhân hai vế bất phương trình thứ hai. Vậy bất phương trình tương đương.

(Trả lời bởi Minh Thư)

Hướng dẫn giải

a) <=>

<=>

<=> 6(3x + 1) - 4(x - 2) - 3(1 - 2x) < 0

<=> 20x + 11 < 0

<=> 20x < - 11

<=> x <

b) <=> 2x² + 5x – 3 – 3x + 1 ≤ x² + 2x – 3 + x² - 5

<=> 0x ≤ -6.

Vô nghiệm.

(Trả lời bởi Minh Thư)

Hướng dẫn giải

a) 6x + < 4x + 7 <=> 6x - 4x < 7 - <=> x <

< 2x +5 <=> 4x - 2x < 5 - <=> x <

Tập nghiệm của hệ bất phương trình:

Y = ∩ = .

b) 15x - 2 > 2x + <=> x >

2(x - 4) < <=> x < 2

Tập nghiệm S = ∩ (-∞; 2) =

(Trả lời bởi Minh Thư)

Hướng dẫn giải

a) Đkxđ: \(x-5\ne0\Leftrightarrow x\ne5\).
b) Đkxđ: \(x\in R\).
c) Đkxđ: \(x^2-x-2\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)\ge0\)
Th1: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1\ge0\\x-2\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\x\ge2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x\ge2\).
Th2: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1< 0\\x-2< 0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 1\\x< 2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x< 1\).
Đkxđ: \(\left[{}\begin{matrix}x\ge2\\x< 1\end{matrix}\right.\).
d) Đkxđ: \(x\in R\).

(Trả lời bởi Bùi Thị Vân)

Hướng dẫn giải

Ta có: điều kiện xác định của bpt \(x+3-\dfrac{1}{x+7}< -\dfrac{1}{x+7}\) là \(x\ne-7\)

\(\Rightarrow x=-7\) không phải là nghiệm của bpt trên

Lại có: \(x+3< 2\\ \Leftrightarrow x< 2-3\\ \Leftrightarrow x< -1\)

\(\Rightarrow x=-7\) thỏa mãn bpt \(x+3< 2\) \(\left(-7< -1\right)\)

(Trả lời bởi Nguyễn Đắc Định)

Hướng dẫn giải

Thay \(x=-3\) vào bất phương trình (1) ta được:
\(3.\left(-3\right)+1< -3+3\)\(\Leftrightarrow-8< 0\) ( đúng)
Vậy \(x=-3\) là nghiệm của bất phương trình (1)
TThay \(x=-3\) vào bất phương trình (2) ta được:
\(\left(3.\left(-3\right)+1\right)^2< \left(-3+3\right)^2\)\(\Leftrightarrow64< 0\) (vô lý).
Vậy \(x=-3\) là nghiệm của bất phương trình (2).
Vậy hai bất phương trình (1) và (2) không tương đương và bình phương hai vế của bất phương trình không là phép biến đổi tương đương.

(Trả lời bởi Bùi Thị Vân)

Hướng dẫn giải

Bất phương trình (1) :
Đkxđ: \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le1\end{matrix}\right.\)
Bất phương trình (2):
Đkxđ: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1\ge0\\x-2\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\x\ge2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x\ge2\).
Vậy hai bất phương trình không tương đương.

(Trả lời bởi Bùi Thị Vân)

Hướng dẫn giải

Nhân hai vế của bất phương trình với x ta được:\(1< x\). Bất phương trình này không tương đương với bất phương trình \(\dfrac{1}{x}< 1\) vì chưa thể khẳng định \(x>0\) mà ta phải xét hai trường hợp:
Th1: x > 0: \(Bpt\Leftrightarrow1< x\).
Th2: x < 0 \(Bpt\Leftrightarrow1>x\)

(Trả lời bởi Bùi Thị Vân)