Xét hàm số g(x) = f(x) − f(x + 1)
Ta có
g(0) = f(0) − f(0 + 2 ) = f(0) − f(2)
g(2) = f(2) − f(2 + 2) = f(2) − f(2) = f(2) − f(0)
(vì theo giả thiết f(0) = f(2).
Do đó,
\(g\left(0\right).g\left(2\right)=\left[f\left(0\right)-f\left(1\right)\right].\left[f\left(1\right)-f\left(0\right)\right]=-\left[f\left(0\right)-f\left(1\right)\right]2\le0\).
- Nếu g(0).g(1) = 0 thì x = 0 hay x=1 là nghiệm của phương trình g(x) = 0
- Nếu g(0).g(1) < 0 (1)
Vì y = f(x) và y = f(x + 1) đều liên tục trên đoạn [0; 2] nên hàm số y = g(x) cũng liên tục trên [0; 2] và do đó nó liên tục trên [0; 1] (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng
Kết luận : Phương trình g(x) = 0 hay f(x) − f(x + 1) = 0 luôn có nghiệm trong đoạn (0;1)
