Question

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\left(x-a\right)\varphi\left(x\right)\) trong đó \(\varphi\left(x\right)\) là hàm số liên tục tại \(x=a\). Tìm \(f'\left(a\right)\)

Answer 1

Theo định nghĩa ta có :

\(f'\left(x\right)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f\left(a+\right)-f\left(a\right)}{\Delta x}\)

         \(=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\left(a+\Delta x-1\right)\varphi\left(a+\Delta x\right)}{\Delta x}\) do (\(f\left(a\right)=0\))

          \(=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\varphi\left(a+\Delta x\right)\)

Khi \(\Delta x\rightarrow0\) thì \(a+\Delta x\rightarrow a\) và do \(\varphi\left(x\right)\) là hàm liên tục tại x = a nên có :

\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\varphi\left(a+\Delta x\right)=\varphi\left(a\right)\)

Vậy \(f'\left(a\right)=\varphi\left(a\right)\)