a.
$2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2$
$\Leftrightarrow a^2+b^2\geq 2ab\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0$ (luôn đúng với mọi $a,b\in\mathbb{R}$)
Ta có đpcm
b. $\Leftrightarrow 2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2$ (giống phần a)
c.
$a^4+b^4+c^4+d^4=(a^4+b^4-2a^2b^2)+(c^4+d^4-2c^2d^2)+2(a^2b^2+c^2d^2)$
$=(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(a^2b^2+c^2d^2-2abcd)+4abcd$
$=(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2+4abcd\geq 4abcd$ (đpcm)
d.
$a^2+b^2+1\geq ab+a+b$
$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+1)-2(ab+a+b)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a^2+b^2-2ab)+(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2\geq 0$ (luôn đúng với mọi $a,b\in\mathbb{R}$)
Ta có đpcm.
e.
$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$
$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ac)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a^2+b^2-2ab)+(b^2+c^2-2bc)+(c^2+a^2-2ac)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0$ (luôn đúng với mọi $a,b,c\in\mathbb{R}$)
g.
$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)$ (giống phần e)
