Question

Dùng các tính chất của lũy thừa để chứng minh nếu số thực x thỏa mãn đẳng thức :

\(\left(x-3\right)^{2010}+\left(x-4\right)^{2012}=1\)

thì \(x=3\) hoặc \(x=4\)

Answer 1

Ta xét 3 trường hợp :

* Nếu \(x>4\) thì \(x-3>1\Rightarrow\left(x-3\right)^{2010}>1\Rightarrow\left(x-3\right)^{2010}+\left(x+4\right)^{2012}>1\) mâu thuẫn.

* Nếu \(x< 3\) thì \(x-4< -1\Rightarrow\left(x-4\right)^{2010}>1\Rightarrow\left(x-3\right)^{2010}+\left(x+4\right)^{2012}>1\) mâu thuẫn.

* Nếu \(3< x< 4\) thì \(x-3>1\Rightarrow\left|x-3\right|,\left|x-4\right|\le1\Rightarrow\left(x-3\right)^{2010}< \left(x-3\right),\left(x-4\right)^{2012}\le\left(4-x\right)\) 

Do đó \(\left(x-3\right)^{2010}+\left(x-4\right)^{2012}< \left(x-3\right)+\left(4-x\right)=1\) cũng mâu thuẫn

Mặt khác, với \(x=3;x=4\) thì đẳng thức đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh