Đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d với P(0) và P(1) là số lẻ.
Chứng minh rằng: P(x) không thể có nghiệm là số nguyên.
@ Mashiro Shiina help :v
Câu hỏi của Cố gắng lên bạn nhé - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Tham khảo:)
\(P\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P\left(0\right)=a.0^3+b.0^2+c.0+d=d\\P\left(1\right)=a.1^3+b.1^2+c.1+d=a+b+c+d\end{matrix}\right.\)
\(d\) và \(a+b+c+d\) đều lẻ nên \(a+b+c\) chẵn
Suy ra được cái này rồi mình phản chứng.
Giả sử pt có nghiệm \(x=t\left(t\in Z\right)\)
Khi đó t có 2 dạng: \(\left\{{}\begin{matrix}t⋮2\\t⋮̸2\end{matrix}\right.\)
\(\circledast\) Với \(t⋮2\) thì: \(P\left(t\right)=at^3+bt^2+ct+d=t\left(at^2+bt+c\right)+d\)
Nhận thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}t\left(at^2+bt+c\right)⋮2\\d⋮2̸\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P\left(t\right)\) lẻ mà 0 chẵn nên vô lí
\(\circledast\) Với \(t⋮̸2\) thì: \(P\left(t\right)=t\left(at^2+bt+c\right)+d\)
Ta sẽ cm P(t) luôn lẻ với \(t⋮̸2\)
Nếu \(P\left(t\right)\) chẵn thì \(t\left(at^2+bt+c\right)\) chẵn
\(\Rightarrow t\left(at+b\right)+c\) chẵn
\(\Rightarrow at+b+c\) chẵn \(\Leftrightarrow a+b+c\) chẵn (trái với điều ta vuừa chứng minh được ở trên). Vậy với \(t⋮̸2\Leftrightarrow P\left(t\right)⋮̸2\) hay pt k có nghiệm nguyên.
\(\Rightarrow\) Với mọi \(t\in Z\) thì P(t) k có nghiệm hay \(P\left(x\right)\) k có nghiệm nguyên
