Do a, b, c là các số nguyên liên tiếp nên \(\left\{{}\begin{matrix}b=a+1\\c=a+2\end{matrix}\right.\)
Ba phương trình viết lại: \(ax^2+\left(a+1\right)x+a+2=0\) (1)
\(\left(a+1\right)x^2+\left(a+2\right)x+a=0\) (2); \(\left(a+2\right)x^2+ax+a+1=0\) (3)
- TH1: cả ba phương trình đều có một nghiệm:
Nếu các hệ số của \(x^2\) lần lượt bằng 0 thì đều ko thoả mãn (thay \(a=0;a=-1;a=-2\) vào thì đều xảy ra 1 pt có 1 nghiệm, 2 pt còn lại có 2 nghiệm)
\(\Rightarrow\) 3 pt đều có nghiệm kép \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1=\left(a+1\right)^2-4a\left(a+2\right)=0\\\Delta_2=\left(a+2\right)^2-4a\left(a+1\right)=0\\\Delta_3=a^2-4\left(a+1\right)\left(a+2\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3a^2-6a+1=0\\-3a^2+4=0\\-3a^2-12a-8=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) ko có a thoả mãn
TH2: 3 phương trình đều có 2 nghiệm:
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3a^2-6a+1>0\\-3a^2+4>0\\-3a^2-12a-8>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}< a< \frac{-3+2\sqrt{3}}{3}\\\frac{-2\sqrt{3}}{3}< a< \frac{2\sqrt{3}}{3}\\\frac{-6-2\sqrt{3}}{3}< a< \frac{-6+2\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=-1\)
Vậy có duy nhất một bộ số nguyên \(\left(a;b;c\right)=\left(-1;0;1\right)\) thoả mãn
