Question

CMR:Nếu tổng của 2 số tự nhiên bất kì chia hết cho 3 thì các lập phương của chúng chia hết cho 3

Answer 1

Gọi 2 số đó là a,b.

Theo bài ra ta có:\(a+b⋮6\)

Xét hiệu:\(\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)\)

\(=a^3-a+b^3-b\)

\(=a\left(a^2-1\right)+b\left(b^2-1\right)\)

\(=\left(a-1\right)\left(a+1\right)a+\left(b-1\right)\left(b+1\right)b\)

Mà tích 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3

\(\Rightarrow\)\(\left(a-1\right)\left(a+1\right)a⋮3,\left(b-1\right)\left(b+1\right)b⋮3\)

\(\Rightarrow\)\(\left(a-1\right)\left(a+1\right)a+\left(b-1\right)\left(b+1\right)b⋮3\)

\(\Rightarrow\left(a^3-b^3\right)-\left(a+b\right)⋮3\)

Mà \(a+b⋮3\Rightarrow a^3+b^3⋮3\left(ĐPCM\right)\)