Question

cmr:\(n^4-n^2⋮12\forall n\in N\)

Answer 1

n⁴ - n² = n²(n² - 1) = n²(n - 1)(n + 1)

Vì n, n - 1, n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp => có ít nhất 1 số chia hết cho 3 => (n - 1)n(n + 1) ⋮ 3 => n²(n - 1)(n + 1) ⋮ 3 (1)

Vì n, n - 1, n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp => có ít nhất một số chia hết cho 2.

Giả sử số chia hết cho 2 đó là n - 1 => n + 1 cũng chia hết cho 2 => (n -1)(n + 1) ⋮ 4 => n²(n - 1)(n + 1) ⋮ 4

Nếu số chia hết cho 2 đó là n + 1, lập luận tương tự ta cũng có n²(n - 1)(n + 1) ⋮ 4

Nếu n ⋮ 2 => n² ⋮ 4 => n²(n - 1)(n + 1) ⋮ 4

Như vậy n²(n - 1)(n + 1) ⋮ 4 (2)

Từ (1) và (2) => n⁴ - n² ⋮ 3 và 4 mà ƯCLN(3;4) = 1

=> n⁴ - n² ⋮ 12