Lời giải:
Sử dụng phép biến đổi tương đương. Với \(x,y\geq 0\):
\(\frac{x}{x+1}\geq \frac{y}{y+1}\)
\(\Leftrightarrow x(y+1)\geq y(x+1)\)
\(\Leftrightarrow x\geq y\)
Điều này luôn đúng theo điều kiện đề bài.
Do đó ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y\)
Cho x,y,z > 0 CMR \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{36}{9+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\)
Cho x, y, z >0 thoả mãn x+y+z=1. Cmr: \(\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+xz}+\frac{z}{z+xy}\le\frac{9}{4}\)
Với mọi x; y khác 0. CMR
\(P=\frac{1}{2}\left(\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2}\right)+\frac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}\right)-\left(1+x^2y^2\right)\ge-\frac{5}{2}\)
Cho các thực x,y,z thỏa mãn và x+2>0,y+2>0,z+8>0
CMR; \(\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}+\frac{z}{z+8}\le\frac{1}{3}\)
cho x,y,z> 0 thỏa mãn \(x^3+y^3+z^3=1\)
Cmr: \(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\)
Cho x, y, z >0 thoả mãn \(x^2+y^2+z^2=1\) . Cmr: \(\frac{x+y+z}{xy+yz+xz}\ge\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\)
cmr với mọi giá trị x,y>0, ta có (1+x)(1+\(\frac{y}{x}\))(1+\(\frac{9}{\sqrt{y}}\))2\(\ge\)256
Cho x,y,z>0 với xyz=1 CMR
cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=1. Cmr:
\(\frac{3}{xy+yz+xz}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\ge14\)
